6.2 Introduction au solveur directe

problème:

recherche solution $x\in\mathbb{R}^{n} / Ax=b$

Temps de résolution de $A.x=b$ par la méthode de Cramer

$$x=A^{-1}b \mbox{{ avec }} A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adjoint(A)$$

N

5

10

20

40

80

160 tcpu (s)

6.2.1 Définition

• Formule de Cramer $x=A^{-1}b$ : $\leadsto$ $n!n^{2}$ opérations
• algorithme fini exact $\leadsto$ méthode de GAUSS
• conditionnement d'une matrice
• propagation des erreurs
• cas d'une matrice complexe: $A=B+\imath C$
  
  $$\left(\begin{array}{cc} B & C\\ -C & B\end{array}\right)\le... ...d{array}\right)=\left(\begin{array}{c} d\\ e\end{array}\right)$$
  
  

• matrice réelle symétrique $A=^{t}A$ (diagonalisable)
• matrice hermitienne (auto-adjointe) $A=^{t}\overline{A}$
• fonction Maple linsolve, LinearSolve, ..
• fonction Matlab $x=A\setminus B$, lu(A), ..
• fonction femlab UMFPACK, SPOOLES, CHOLESKY (TAUCS),