4.1 Méthode des Éléments finis en 2D

On considère l'écoulement d'un fluide incompressible (air à des faibles vitesses d'écoulement), de masse volumique $\rho$ constante, autour d'un obstacle cylindrique de rayon R et d'axe Oz.

L'écoulement est à deux dimensions (vitesses parallèles au plan xOy et indépendantes de z) et stationnaire. Un point M du plan xOy est repéré par ses coordonnées polaires $(r,\theta)$. L'obstacle, dans son voisinage, déforme les lignes de courant ; loin de l'obstacle, le fluide est animé d'une vitesse uniforme $U_{0}$ suivant Ox.

L'écoulement est supposé irrotationnel, et le fluide est supposé parfait (viscosité nulle).

Dans ce cas l'écoulement est un écoulement potentiel, c.a.d que la vitesse découle d'un champ potentiel $\Phi(x,y)$:

$$\overrightarrow{U}=\overrightarrow{grad} \Phi=\left[\begin{... ...partial x}\\ \frac{\partial\Phi}{\partial y}\end{array}\right]$$

qui vérifie une équation de Laplace:

$$\Delta\Phi=\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial y^{2}}=0$$

Les conditions aux limites sont telles que loin de l'obstacle la vitesse est égale à $U_{0}$, et que le fluide glisse sur l'obstacle, c.a.d. que la vitesse normale est nulle $\overrightarrow{U}.\overrightarrow{n}=0$. La solution analytique de ce problème peut être calculée avec la théorie des fonctions conformes:

$$\Phi=U_{0}(\frac{R^{2}}{r}+r)\cos\theta$$

Cette solution est tracée sur la figure ci-dessous. Le champ de vitesse est perpendiculaire aux lignes de potentiel ( $\overrightarrow{U}$ est parallèle à $\overrightarrow{grad}\Psi$ ).

Cette fonction potentielle $\Phi$ est associée à une fonction orthogonale $\Psi$ (tracée ci-dessus), telle que

$$\overrightarrow{U}=\left[\begin{array}{c} \frac{\partial\P... ...artial y}\\ -\frac{\partial\Psi}{\partial x}\end{array}\right]$$

Cette fonction $\Psi$ est la fonction de courant de l'écoulement, i.e. les lignes $\Psi=cste$ sont des lignes tangentes au vecteur vitesse ( $\overrightarrow{U}.\overrightarrow{grad} \Psi=0$). L'écoulement étant stationnaire, ces lignes correspondent aux trajectoires des particules fluides. On montre facilement que $\Psi$ vérifie aussi une équation de Laplace:

$$\Delta\Psi=0$$ (4.1)

Les conditions aux limites associées sont:

$$\Psi(r=\infty)=yU_{0} \„ \Psi(r=R)=0$$ (4.2)

Pour résoudre ce problème par élément finis, on choisit un domaine de calcul $\Omega$ fini: i.e. la frontière $r=\infty$ est ramenée à une distance finie $r=10R$ du cylindre (à cette distance la perturbation due au cylindre est négligeable): $\Omega=[R,10R]x[0,2\pi]$. On note $\Gamma_{0}(r=10R)$ la frontière extérieure et $\Gamma_{1}(r=R)$ la frontière du cylindre.

On découpe le domaine $\Omega$ en $N_{e}$ éléments triangulaires (triangulation):

A partir de ce maillage, on construit ensuite une solution approchée $\Psi^{h}(x,y)$ comme une approximation polynomiale par morceaux. Ainsi avec une approximation quadratique (élément finis $P^{2}$), sur chaque élément $e_{k}$, la solution est un polynôme de degré 2 en x et y:

$$\Psi^{h}(x,y)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}y+a_{3}xy+a_{4}x^{2}+a_{5}x^{6}$$

et possède donc 6 degrés de liberté, qui sont les 3 valeurs aux sommets de l'élément et les 3 valeurs sur les milieux de cotés

Compte tenu des conditions aux limites et de la continuité inter-éléments, la solution $\Psi^{h}$ possède $N$ degrés de liberté (ce nombre dépend du nombre d'éléments et du nombre de noeuds sur les frontières) et s'écrit:

$$\Psi^{h}(x,y)=\sum_{j=1}^{N}\Psi_{j}\phi_{j}(x,y)+\sum_{k\in\Gamma_{0}\cup\Gamma_{1}}\Psi_{0}\Phi_{k}(x,y)$$ (4.3)

Le terme en $\Psi_{0}$ permet de vérifier les conditions aux limites 5.2:

$$\Psi_{0}\vert _{\Gamma_{0}}=U_{0}y \„ \Psi_{0}\vert _{\Gamma_{1}}=0$$

Pour déterminer les valeurs inconnues $\Psi_{j}$, on écrit la formulation faible de la méthode des résidues pondérés, en multipliant l'équation 5.1 par une fonction test $w_{i}(x,y)$, puis en intégrant sur le domaine $\Omega$:

$$\int_{\Omega}\Delta\Psi^{h} w_{i} dxdy=0$$

On intègre par partie, en utilisant la formule de Green, pour obtenir la relation suivante:

$$\int_{\Omega}\overrightarrow{grad}\Psi^{h}.\overrightarrow{g... ...ightarrow{grad}\Psi^{h}.\overrightarrow{n} w_{i} d\Gamma=0$$ (4.4)

En utilisant la méthode de Galerkin, les fonctions tests $w_{i}$ sont les fonctions de base $\phi_{i}$ associées au degré de liberté de $\Psi^{h}$:

$$w_{i}(x,y)=\frac{\partial\Psi^{h}}{\partial\Psi_{i}}=\phi_{i}(x,y)$$

Ces fonctions tests s'annulent sur la frontière $\Gamma$ de $\Omega$, et donc l'intégrale de bord dans 5.4 est nulle. En remplaçant $\Psi^{h}$ par son expression 5.3 , cette équation 5.4 s'écrit:

$$\sum_{j=1}^{N}\Psi_{j}\int_{\Omega}\overrightarrow{grad}\phi... ..._{k}.\overrightarrow{grad}\Phi_{i} d\Omega \forall i=1,N$$

qui est un système linéaire de $N$ équations pour $N$ inconnues $\{\Psi_{j}\}_{j=1,N}$ qu'il suffit de résoudre pour obtenir la solution approchée $\Psi^{h}$.