On considère l'écoulement d'un fluide incompressible (air à des faibles
vitesses d'écoulement), de masse volumique constante, autour
d'un obstacle cylindrique de rayon R et d'axe Oz.
L'écoulement est à deux dimensions (vitesses parallèles au plan xOy
et indépendantes de z) et stationnaire. Un point M du plan xOy est
repéré par ses coordonnées polaires . L'obstacle, dans
son voisinage, déforme les lignes de courant ; loin de l'obstacle,
le fluide est animé d'une vitesse uniforme
suivant Ox.
L'écoulement est supposé irrotationnel, et le fluide est supposé parfait (viscosité nulle).
Dans ce cas l'écoulement est un écoulement potentiel, c.a.d que la
vitesse découle d'un champ potentiel :
qui vérifie une équation de Laplace:
Les conditions aux limites sont telles que loin de l'obstacle la vitesse
est égale à , et que le fluide glisse sur l'obstacle, c.a.d.
que la vitesse normale est nulle
.
La solution analytique de ce problème peut être calculée avec la théorie
des fonctions conformes:
Cette solution est tracée sur la figure ci-dessous. Le champ de vitesse
est perpendiculaire aux lignes de potentiel (
est parallèle à
).
Cette fonction potentielle est associée à une fonction orthogonale
(tracée ci-dessus), telle que
Cette fonction est la fonction de courant de l'écoulement,
i.e. les lignes
sont des lignes tangentes au vecteur
vitesse (
). L'écoulement
étant stationnaire, ces lignes correspondent aux trajectoires des
particules fluides. On montre facilement que
vérifie aussi
une équation de Laplace:
Les conditions aux limites associées sont:
Pour résoudre ce problème par élément finis, on choisit un domaine
de calcul fini: i.e. la frontière
est ramenée
à une distance finie
du cylindre (à cette distance la perturbation
due au cylindre est négligeable):
. On note
la frontière extérieure et
la frontière du cylindre.
On découpe le domaine en
éléments triangulaires
(triangulation):
A partir de ce maillage, on construit ensuite une solution approchée
comme une approximation polynomiale par morceaux.
Ainsi avec une approximation quadratique (élément finis
),
sur chaque élément
, la solution est un polynôme de degré
2 en x et y:
et possède donc 6 degrés de liberté, qui sont les 3 valeurs aux sommets de l'élément et les 3 valeurs sur les milieux de cotés
Compte tenu des conditions aux limites et de la continuité inter-éléments,
la solution possède
degrés de liberté (ce nombre
dépend du nombre d'éléments et du nombre de noeuds sur les frontières)
et s'écrit:
Le terme en permet de vérifier les conditions aux limites
5.2:
Pour déterminer les valeurs inconnues , on écrit la formulation
faible de la méthode des résidues pondérés, en multipliant l'équation
5.1 par une fonction test
, puis en intégrant
sur le domaine
:
On intègre par partie, en utilisant la formule de Green, pour obtenir la relation suivante:
En utilisant la méthode de Galerkin, les fonctions tests
sont les fonctions de base
associées au degré de liberté
de
:
Ces fonctions tests s'annulent sur la frontière de
,
et donc l'intégrale de bord dans 5.4 est nulle. En remplaçant
par son expression 5.3 , cette équation 5.4
s'écrit:
qui est un système linéaire de équations pour
inconnues
qu'il suffit de résoudre pour obtenir la solution
approchée
.