5.2 Tube à choc

On considère un tube de longueur $L$, séparé en son milieu par une membrane avec d'un coté un gaz à haute pression ( $p_{0},\rho_{0}$) et de l'autre un gaz à basse pression ( $p_{1},\rho_{1}$).

On enlève la membrane à l'instant $t=0$. On introduit donc une discontinuité de pression, masse volumique et température dans le tube.

Due à la différence de pression, le gaz de la chambre haute pression va se déplacer dans la chambre basse pression. Une zone entre les 2 gaz se met en mouvement avec une vitesse $u_{3}>0$ et une pression $p_{3}$: $p_{1}>p_{3}>p_{2}$ avec en amont la propagation d'une onde de choc avec une célérité $u+c=\frac{1}{2}(u_{3}+c_{3}+c_{2})$. En arrière de cette zone se développent des ondes de détente de pente $u-c$: $-c_{1}<u-c<u_{3}-c_{3}$. Enfin, si on néglige la diffusion, les deux gaz ne se mélangent pas, et la séparation entre les deux correspond à une discontinuité de contact qui se propage avec la vitesse $u=u_{3}$.

On retrouve les 3 ondes pouvant se développer dans les équations d'Euler:

1. une onde de choc de célérité $u+c$
2. des ondes de détente de célérité $u-c$
3. une discontinuité de contact de célérité $u$

La solution des équations d'Euler pour ce problème est donnée sur les figures suivantes (5.1) à l'instant $t=\frac{L}{4c_{1}}$, pour un rapport de pression et de masse volumique de $3$.

Figure: solutions d'Euler pour le tube à choc à $t=\frac{L}{4c_{1}}$

[système d'ondes]

[pression $p$]

[vitesse $U$][densité $\rho$]

Sur l'animation suivante, on a tracé l'évolution de la trajectoire des particules fluides dans un tube à choc.