4.3 Choc instationnaire

L'analyse précédente peut se généraliser au cas d'un choc droit se déplaçant avec une vitesse constante $V$ dans un milieu au repos. A l'amont du choc la vitesse est nulle, le fluide au repos, la masse volumique vaut $\rho_{0}$ et la pression $p_{0}$, et à l'arrière du choc la vitesse vaut $U_{1}$ , la masse volumique $\rho_{1}$, et la pression $p_{1}$.

Pour se ramener au cas du choc droit stationnaire, on considère un repère lié au choc. Dans ce repère l'écoulement amont est donné par:

$$V,\, c_{0}=\sqrt{\gamma\frac{p_{0}}{\rho_{0}}}$$

et l'écoulement aval par:

$$V-U_{1},\, c_{1}=\sqrt{\gamma\frac{p_{1}}{\rho_{1}}}$$

Les relations 4.54.64.9 sont toujours valables, mais en remplaçant :

$$M_{1}=\frac{V}{c_{0}},\,\, u_{1}=V,\,\, u_{2}=V-U_{1}$$

4.3.1 Tube à choc

On considère un tube de longueur $L$, séparé en son milieu par une membrane avec d'un coté un gaz à haute pression ( $p_{0},\rho_{0}$) et de l'autre un gaz à basse pression ( $p_{1},\rho_{1}$).

On enlève la membrane à l'instant $t=0$. On introduit donc une discontinuité de pression, masse volumique et température dans le tube.

Due à la différence de pression, le gaz de la chambre haute pression va se déplacer dans la chambre basse pression. Une zone entre les 2 gaz se met en mouvement avec une vitesse $u_{3}>0$ et une pression $p_{3}$: $p_{1}>p_{3}>p_{2}$ avec en amont la propagation d'une onde de choc avec une célérité $u+c=\frac{1}{2}(u_{3}+c_{3}+c_{2})$. En arrière de cette zone se développe des ondes de détente de pente $u-c$: $-c_{1}<u-c<u_{3}-c_{3}$. Enfin, si on néglige la diffusion, les deux gaz ne se mélangent pas, et la séparation entre les deux correspond à une discontinuité de contact qui se propage avec la vitesse $u=u_{3}$.

On a donc le développement de 3 ondes dans le système:

1. une onde de choc de célérité $u+c$
2. des ondes de détente de célérité $u-c$
3. une discontinuité de contact de célérité $u$

La solution des équations d'Euler pour ce problème est donnée sur les figures suivantes (4.1) à l'instant $t=\frac{L}{4c_{1}}$, pour un rapport de pression et de masse volumique de $3$.

Figure: solutions d'Euler pour le tube à choc à $t=\frac{L}{4c_{1}}$

[système d'ondes]

[pression $p$]

[vitesse $U$][densité $\rho$]

Sur l'animation suivante, on a tracé l'évolution de la trajectoire des particules fluides dans un tube à choc, ainsi que l'évolution de la pression, de la vitesse, de la masse volumique et du nombre de Mach dans le tube en fonction du temps.

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4.3.2 Vitesse du choc crée par un piston

Dans l'expérience décrite au chapitre 3, on a créé un choc par déplacement d'un piston.

En utilisant les relations caractéristiques, dans la région entre le piston (qui génère le choc) et le choc (i.e. à l'arrière du choc), la célérité du son $c_{1}$ vérifie:

$$c_{1}=\frac{1}{2}(\gamma-1)U_{1}+c_{0}$$

(puisque $c_{0}$ est la célérité dans le fluide au repos)

En utilisant cette relation dans l'équation de conservation de l'enthalpie totale à travers le choc 4.3:

$$\left(\frac{1}{2}(\gamma-1)U_{1}+c_{0}\right)^{2}+\frac{\gamma-1}{2}(V-U_{1})^{2}=c_{0}^{2}+\frac{\gamma-1}{2}V^{2}$$

on en déduit la vitesse du choc

$$V=c_{0}+\frac{\gamma+1}{4}U_{1}$$

On note donc que par rapport au choc, l'écoulement amont est supersonique $V>c_{0}$ et l'écoulement aval est subsonique $V-U_{1}=c_{0}-\frac{3-\gamma}{4}U_{1}<c_{1}=c_{0}+\frac{\gamma-1}{2}U_{1}$.

On note aussi que la vitesse du choc $V$ est la moyenne de la vitesse de propagation à l'amont et à l'aval du choc:

$$V=\frac{1}{2}\left(c_{0}+(c_{1}+U_{1})\right)=c_{0}+\frac{\gamma+1}{4}U_{1}$$

Sur l'animation suivante, on a tracé l'évolution de la trajectoire des particules fluides dans le piston.

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