4.2 Relations à travers un choc droit

Pour cela on considère un choc droit immobile à travers lequel l'écoulement reste quasi-unidimensionnel et stationnaire. Si le choc se déplace, on fait l'analyse dans un repère lié au choc.

On note $u_{1}$, $c_{1}$, $p_{1},\rho_{1}$ l'état du fluide avant le choc et $u_{2}$, $c_{2}$, $p_{2},\rho_{2}$ l'état du fluide après le choc.

On fait des bilans (de masse, de quantité de mouvement et d'énergie) en considérant un petit élément de volume $V$ incluant le choc. Ces équations s'écrivent:

1. bilan de masse:
   
   

   $$\rho_{1}u_{1}=\rho_{2}u_{2}$$ (4.1)

   
   

2. bilan de quantité de mouvement:
   
   

   $$\rho_{1}u_{1}^{2}+p_{1}=\rho_{2}u_{2}^{2}+p_{2}$$ (4.2)

   
   

3. conservation de l'enthalpie totale:
   
   
   $$h_{t}=\frac{1}{2}u_{1}^{2}+h_{1}=\frac{1}{2}u_{2}^{2}+h_{2}$$
   
   

En exprimant l'enthalpie $h=C_{p}T$ en fonction de la célérité du son $c=\sqrt{\gamma RT}$:

$$h=C_{p}T=\frac{C_{p}}{\gamma R}c^{2}=\frac{c^{2}}{\gamma-1}$$

la dernière équation s'écrit:

$$\frac{1}{2}u_{1}^{2}+\frac{c_{1}^{2}}{\gamma-1}=\frac{1}{2}u_{2}^{2}+\frac{c_{2}^{2}}{\gamma-1}=h_{t}$$ (4.3)

Ce système d'équations est connue sous le nom de relations de Rankine-Hugoniot. Nous allons calculer les variations des quantités à travers le choc en fonction du nombre de Mach amont $M_{1}=\frac{u_{1}}{c_{1}}$

En divisant par $\rho_{1}u_{1}=\rho_{2}u_{2}$ l'équation 4.2, il vient:

$$u_{2}-u_{1}=\frac{p_{1}}{\rho_{1}u_{1}}-\frac{p_{2}}{\rho_{2}u_{2}}$$

et en introduisant la célérité du son $c^{2}=\frac{\gamma\, p}{\rho}$, il vient:

$$u_{2}-u_{1}=\frac{c_{1}^{2}}{\gamma u_{1}}-\frac{c_{2}^{2}}{\gamma u_{2}}$$

En utilisant l'équation 4.3, on calcule:

$$\frac{c^{2}}{\gamma u}=\frac{\gamma-1}{\gamma u}(h_{t}-\frac{1}{2}u^{2})$$

et on remplace:

$$u_{2}-u_{1}=\frac{\gamma-1}{\gamma}\left(\frac{h_{t}(u_{2}-u_{1})}{u_{1}u_{2}}+\frac{1}{2}(u_{2}-u_{1})\right)$$

Or on a supposé qu'il y avait un choc et donc une discontinuité sur la vitesse: i.e. $u_{2}-u_{1}\neq0$

En simplifiant par $u_{2}-u_{1}$, il vient:

$$\frac{\gamma}{\gamma-1}=\frac{h_{t}}{u_{1}u_{2}}+\frac{1}{2}$$

soit:

$$u_{1}u_{2}=h_{t}\frac{2(\gamma-1)}{\gamma+1}$$

ce qui nous permet de calculer le rapport

$$\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{u_{1}u_{2}}{u_{1}^{2}}=\frac{h_{t}}{u_{1}^{2}}\frac{2(\gamma-1)}{\gamma+1}$$

Et d'après 4.3, on a

$$\frac{h_{t}}{u_{1}^{2}}=\frac{1}{2}+\frac{M_{1}^{-2}}{\gamma-1}$$

d'où l'expression de la variation de la vitesse à travers le choc:

$$\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{2(\gamma-1)}{\gamma+1}\left(\frac{... ...ma-1}\right)=\frac{(\gamma-1)M_{1}^{2}+2}{(\gamma+1)M_{1}^{2}}$$ (4.4)

On en déduit la variation de la masse volumique

$$\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}=\frac{u_{1}}{u_{2}}=\frac{(\gamma+1)M_{1}^{2}}{(\gamma-1)M_{1}^{2}+2}$$ (4.5)

La relation 4.3 permet de calculer la variation de célérité du son

$$c_{2}^{2}-c_{1}^{2}=\frac{(\gamma-1)}{2}(u_{1}^{2}-u_{2}^{2})$$

et en divisant par $u_{2}^{2}$, on obtient la variation du Mach

$$M_{2}^{-2}=M_{1}^{-2}\left(\frac{u_{1}}{u_{2}}\right)^{2}+\frac{\gamma-1}{2}(\left(\frac{u_{1}}{u_{2}}\right)^{2}-1)$$

soit

$$\left(\frac{M_{1}}{M_{2}}\right)^{2}=\left(\frac{u_{1}}{u_{2... ...{\gamma-1}{2}M_{1}^{2}(\left(\frac{u_{1}}{u_{2}}\right)^{2}-1)$$ (4.6)

Pour la pression, on utilise l'équation 4.2

$$p_{2}-p_{1}=\rho_{1}u_{1}(u_{1}-u_{2})$$

d'où

$$\frac{p_{2}}{p_{1}}-1=\frac{\rho_{1}u_{1}^{2}}{p_{1}}(1-\fra... ...{1}})=\frac{\gamma u_{1}^{2}}{c_{1}^{2}}(1-\frac{u_{2}}{u_{1}})$$

ce qui donne en remplaçant $\frac{u_{2}}{u_{1}}$

$$\frac{p_{2}}{p_{1}}=1+\frac{2\gamma}{\gamma+1}(M_{1}^{2}-1)$$ (4.7)

Enfin en utilisant la définition de l'entropie (pour un gaz parfait):

$$S=C_{v}\ln\frac{p}{\rho^{\gamma}}$$

on obtient l'évolution de l'entropie à travers le choc:

$$\frac{S_{2}-S_{1}}{C_{v}} = \ln\frac{p_{2}}{p_{1}}-\gamma\ln\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}$$ (4.8)

$$= \ln\left(1+\frac{2\gamma}{\gamma+1}(M_{1}^{2}-1)\right)-\gamma\ln\left(\frac{(\gamma+1)M_{1}^{2}}{(\gamma-1)M_{1}^{2}+2}\right)$$ (4.9)

On a tracé sur la figure ci-dessous l'évolution du saut d'entropie 4.9 en fonction du Mach amont $M_{1}$ ainsi que le rapport le Mach $M_{2}$ (relation sqrt(4.6)*M1)

De cette analyse on déduit que:

1. Si l'écoulement amont est subsonique $M_{1}<1$, alors il ne peut pas y avoir de choc droit stationnaire car l'entropie diminue $S_{2}<S_{1}$
2. Si l'écoulement amont est sonique $M_{1}=1$, il n'y a pas de choc $M_{2}=1,\, p_{2}=p_{1},\, u_{2}=u_{1},\,\rho_{1}=\rho_{2}$
3. si l'écoulement amont est supersonique $M_{1}>1$, alors il y peut y avoir un choc droit stationnaire, pour lequel l'entropie augmente (écoulement irréversible) et l'écoulement aval est subsonique $M_{2}<1$.

Nous avons tracé sur la figure ci-dessous l'évolution de la masse volumique, de la pression et de la vitesse à travers un choc droit:

Comme nous l'avons vu précédemment, un choc droit permet de décélérer l'écoulement: $\textrm{u}_{2}<u_{1}$, à travers une compression forte adiabatique $p_{2}>p_{1}$ et $\rho_{2}>\rho_{1}$. L'énergie cinétique de l'écoulement est transformée en énergie interne par augmentation de l'agitation moléculaire: la température augmente à travers un choc $T_{2}>T_{1}$.

On constate aussi que plus le Mach amont est fort, plus le choc est fort, mais il y a une limite : le Mach aval ne peut descendre en dessous d'une valeur limite $M_{\infty}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\simeq0.26$, ainsi que le saut de vitesse : $\frac{u_{2}}{u_{1}}\Longrightarrow\frac{\gamma-1}{\gamma+1}=\frac{1}{6}$ , et le saut de masse volumique $\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}\Longrightarrow\frac{\gamma+1}{\gamma-1}=6$. Par contre le saut de pression n'est pas borné et tend vers l'infini.