3.5 Écoulement quasi 1D en conduite

On considère un écoulement quasi-1D dans une conduite de section $S(x)$ variable. On suppose que la variation de section $S$ est suffisamment faible pour que l'écoulement soit uni-dimensionnel avec une vitesse $U(x,t)$.

On considère le volume de contrôle $V$ de la figure ci-dessus, limité par les sections $S(x)$ et $S(x+dx)$

Les équations de bilan d'un gaz parfait compressible (voir chapitre 1) intégrées sur le volume $V$ de frontière $\Gamma$ s'écrivent (après utilisation du théorème de la divergence):

$$\begin{eqnarray*} \int_{V}(\frac{\partial\rho}{\partial t}+div(\rho\overrightarr... ...t}dV+\int_{S}H_{t}\overrightarrow{U}.\overrightarrow{n}\, dS & =0\end{eqnarray*}$$

On a noté $E_{t}=\rho e+\frac{1}{2}\rho U^{2}$ l'énergie totale par unité de volume, et $H_{t}=E_{t}+p$ l'enthalpie totale.

A ces équations, on rajoute l'équation d'état des gaz parfaits:

$$e=\frac{1}{\gamma-1}\frac{p}{\rho}$$

Le volume $V$ considéré est égal au premier ordre en x à $V\simeq S\, dx$, donc les intégrales de volume d'une fonction $f(x)$ s'écrivent:

$$\int_{V}f(x)\, dV\simeq f(x)\, S\, dx$$

Les intégrales de surface d'une fonction $F(x)$ se décomposent en intégrale sur les sections débitantes $S(x)$ et $S(x+dx)$ , et sur la frontière pariétale $S_{w}$:

$$\begin{eqnarray*} \int_{\Gamma}F(x)\, dS= & \int_{S(x)}F(x)\, dS+\int_{S(x+dx)}F... ...w}}F(x)\, dS\\ = & F(x)S(x)+F(x+dx)S(x+dx)+\int_{S_{w}}F(x)\, dS\end{eqnarray*}$$

Pour l'équation de bilan de la masse, $F(x)=\rho\overrightarrow{U}.\overrightarrow{n}$ est nulle sur les frontières pariétales et vaut $+\rho U(x+dx)$ en $S(x+dx)$ et $-\rho U(x)$ en $S(x)$ (la normale $\overrightarrow{n}$ est toujours dirigée vers l'extérieur du volume de contrôle). On obtient alors:

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}S(x)dx+\rho(x+dx)U(x+dx)S(x+dx)-\rho(x)U(x)S(x)=0$$

soit au premier ordre en x:

$$S\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}(\rho US)=0$$

Pour l'équation de bilan de quantité de mouvement, $F(x)$

$$F(x)=\left((\rho\overrightarrow{U}\otimes\overrightarrow{U}+... ...overline{Id}}).\overrightarrow{n}\right).\overrightarrow{e_{x}}$$

est la composante suivant $Ox$ qui est non nulle sur les frontières pariétales et vaut $p\, n_{x}$ où $n_{x}=\overrightarrow{n}.\overrightarrow{e_{x}}$ est la composante suivant $Ox$ de la normale à la frontière. L'intégrale sur la paroi s'écrit au premier ordre en x:

$$\int_{S_{w}}p\, n_{x}dS\simeq\frac{p(x+dx)+p(x)}{2}\int_{S_{w}}n_{x}dS=\frac{p(x+dx)+p(x)}{2}(S(x)-S(x+dx))$$

Sur $S(x)$, $F(x)$ vaut $-\rho U^{2}-p$ et sur $S(x+dx)$ $F(x+dx)$ vaut $+\rho U^{2}+p$, et l'équation de bilan de la quantité de mouvement s'écrit:

$$\frac{\partial\rho U}{\partial t}S(x)\, dx+(\rho U^{2}+p)S(x+dx)-(\rho U^{2}+p)S(x)+\frac{p(x+dx)+p(x)}{2}(S(x)-S(x+dx))=0$$

ce qui donne au premier ordre en x:

$$\frac{\partial\rho U}{\partial t}S(x)+\frac{\partial}{\parti... ...frac{\partial}{\partial x}(pS)-p\frac{\partial S}{\partial x}=0$$

soit:

$$S\frac{\partial\rho U}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}(\rho U^{2}S)+S\frac{\partial p}{\partial x}=0$$

Enfin l'équation de bilan de l'énergie, $F(x)=H_{t}\overrightarrow{U}.\overrightarrow{n}$ qui s'annulle sur les parois et vaut $-H_{t}U$ en $S(x)$ et $+H_{t}U$ en $S(x+dx)$, ce qui donne au final:

$$\frac{\partial E_{t}}{\partial t}S\, dx+(H_{t}U)S(x+dx)-(H_{t}U)S(x)=0$$

soit à l'ordre 1 en x:

$$S\frac{\partial E_{t}}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}(H_{t}U\, S)=0$$

Les équations de bilan pour un gaz parfait dans une conduite de section $S(x)$ s'écrivent donc:

$$S\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}(\rho US) = 0$$ (3.6)

$$S\frac{\partial\rho U}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}(\rho U^{2}S)+S\frac{\partial p}{\partial x} = 0$$ (3.7)

$$S\frac{\partial E_{t}}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}(H_{t}U\, S) = 0$$ (3.8)

avec l'équation d'état: $H_{t}=E_{t}+p=\frac{\gamma}{\gamma-1}\, p+\frac{1}{2}\rho U^{2}$

3.5.1 Écoulement stationnaire en conduite

Dans le cas d'un écoulement stationnaire, le système d'équations (3.6-3.8) se simplifie.

L'équation de bilan de la masse 3.6 s'écrit:

$$\rho US=cste$$

i.e. le débit massique (i.e. en kg/s) se conserve .

L'équation de bilan de l'énergie 3.8 s'écrit:

$$H_{t}US=cste$$

En notant $h_{t}=\frac{H_{t}}{\rho}$ l'enthalpie totale par unité de masse, on obtient:

$$h_{t}=cste$$

i.e. l'enthalpie totale par unité de masse se conserve.

Pour l'équation de bilan de la quantité de mouvement 3.7, on obtient (en utilisant 3.6):

$$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x}(\rho U^{2}S)+S\frac{\partial p}{\p... ...ho US\frac{\partial U}{\partial x}+S\frac{\partial p}{\partial x}\end{eqnarray*}$$

ce qui se simplifie

$$\rho U\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial p}{\partial x}=0$$

Sous forme différentielle, on peut l'écrire: $\rho U\, dU+dp=0$.

Le système d'équation pour un écoulement permanent en conduite s'écrit

$$\rho US = cste$$ (3.9)

$$h_{t} = cste$$ (3.10)

$$\rho U\, dU+dp = 0$$ (3.11)

auquel on adjoint l'équation d'état $h_{t}=\frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{p}{\rho}+\frac{1}{2}U^{2}$

Dans le cas où l'écoulement ne présente pas de discontinuité (choc), l'écoulement est aussi isentropique (exercice).

En prenant le logarithme de l'équation 3.9 , on obtient:

$$\log\rho+\log U+\log S=cste$$

soit en différenciant:

$$\frac{d\rho}{\rho}+\frac{dU}{U}+\frac{dS}{S}=0$$

En utilisant l'équation 3.11 pour remplacer $dU$, on a:

$$\frac{dS}{S}=-\frac{d\rho}{\rho}+\frac{dp}{\rho U^{2}}=\frac{dp}{\rho U^{2}}\left(1-\frac{U^{2}}{(\frac{dp}{d\rho})}\right)$$

En introduisant la célérité du son $c=\sqrt{\frac{dp}{d\rho}}$, et le nombre de Mach local $M=\frac{U}{c}$, l'équation précédente s'écrit:

$$\frac{dS}{S}=\frac{dp}{\rho U^{2}}(1-M^{2})$$ (3.12)

Interprétons cette relation et ces conséquences si on veut accélérer un gaz:

• dans une conduite pour avoir une accélération de la vitesse $(dU>0)$ , il faut d'après 3.11 un gradient de pression négatif $(dp<0)$
• si l'écoulement est subsonique $(M<1)$, la section de la conduite doit diminuer d'après 3.12 pour augmenter la vitesse, il faut donc un convergent $(dS<0)$
• par contre si l'écoulement est supersonique $(M>1)$, la section de la conduite doit augmenter et il faut un divergent $(dS>0)$
• C'est évidemment l'inverse si on veut décélérer le fluide
• l'écoulement ne peut devenir transsonique $(M=1)$ qu'au col $(dS=0)$ (Attention si $dS=0$ on a pas forcement $M=1$ )

On note ici une différence importante entre un écoulement subsonique et supersonique: un convergent accélère un écoulement subsonique, mais décélère un écoulement supersonique.

3.5.2 Tuyère de Laval

Nous allons maintenant étudier le moyen de générer un écoulement supersonique à l'aide d'une tuyère convergente-divergente, dite tuyère de Laval. Ce dispositif est très utilisé pour étudier expérimentalement les écoulements supersoniques.

On considère un réservoir, contenant un gaz à la pression $p_{0}$ et à la température $T_{0}$, relié à une sortie qui est à une pression $p_{e}$ et une température $T_{e}$ par une conduite convergente divergente de section $S(x)$ , dont la valeur minimum vaut $S^{*}$ au col.

Le réservoir est suffisamment grand pour considérer que la vitesse du fluide y est négligeable ($U_{0}=0$). Le fluide est quasiment au repos et donc dans des conditions d'arrêt: pression d'arrêt $p_{0}$ et température d'arrêt $T_{0}$.

En supposant que l'écoulement est stationnaire et isentropique dans la tuyère, les lois de bilan s'écrivent:

1. bilan d'énergie (ou premier principe de la thermodynamique):
   l'enthalpie totale $h_{t}=h+\frac{1}{2}U^{2}$ se conserve et est égale à l'enthalpie d'arrêt $h_{0}$
   
   

   $$h_{0}=h_{1}+\frac{1}{2}U_{1}^{2}=h_{2}+\frac{1}{2}U_{2}^{2}$$ (3.13)

   
   

2. conservation de l'entropie (ou second principe de la thermodynamique):
   
   
   $$s_{0}=s_{1}=s_{2}$$
   
   

3. conservation de la masse:
   le débit massique $\dot{m}$ se conserve dans la tuyère
   
   
   $$\rho_{1}U_{1}S_{1}=\rho_{2}U_{2}S_{2}=\dot{m}=cste$$
   
   

4. bilan de quantité de mouvement (principe fondamental loi de Newton)
   
   
   $$(p_{1}+\rho_{1}U_{1}^{2})S_{1}+R=(p_{2}+\rho_{2}U_{2}^{2})S_{2}$$
   
   
   
   où $R$ est la résultante des forces de pression sur la paroi entre les 2 sections:
   
   
   $$R=\int_{1}^{2}p.n_{x}\, dS$$
   
   

3.5.2.1 relations d'arrêt

Nous allons tout d'abord déterminer les relations entre l'état générateur (conditions d'arrêt) et l'état dans une section $S_{1}$ quelconque de la conduite (en supposant un écoulement isentropique entre les deux).

La conservation de l'enthalpie totale 3.13 permet d'obtenir une relation entre les températures, en notant que l'enthalpie pour un gaz parfait s'écrit $h=C_{p}T$

$$h_{0}=C_{p}T_{0}=C_{p}T_{1}+\frac{1}{2}U_{1}^{2}$$

soit

$$\frac{T_{0}}{T_{1}}=1+\frac{U_{1}^{2}}{2C_{p}T_{1}}=1+\frac{(\gamma-1)U_{1}^{2}}{2c_{1}^{2}}=1+\frac{\gamma-1}{2}M_{1}^{2}$$ (3.14)

en introduisant la vitesse du son $c_{1}^{2}=\gamma RT_{1}$ , la relation $R=C_{p}-C_{v}$ et le nombre de Mach local $M_{1}$.

En utilisant la relation isentropique $\frac{p}{\rho^{\gamma}}=cste$ , qui s'écrit en fonction de $T$: $\frac{T}{\rho^{\gamma-1}}=cste$, on obtiens l'évolution de la masse volumique:

$$\frac{\rho_{1}}{\rho_{0}}=\left(\frac{T_{1}}{T_{0}}\right)^{... ...c{1}{1+\frac{\gamma-1}{2}M_{1}^{2}}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}$$

et l'évolution de la pression:

$$\frac{p_{1}}{p_{0}}=\left(\frac{\rho_{1}}{\rho_{0}}\right)^{... ...+\frac{\gamma-1}{2}M_{1}^{2}}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$$ (3.15)

L'évolution de ces quantités est donnée sur la figure ci-dessous:

L'évolution de l'écoulement isentropique à partir de condition d'arrêt correspond donc à une diminution de la température, i.e. à la transformation de l'enthalpie (énergie interne + pression) en énergie cinétique. En effectuant un développement limité en nombre de Mach au voisinage de $M_{1}=0$, on obtient les expressions suivantes:

$$\begin{eqnarray*} \frac{T_{1}}{T_{0}} & = & 1-\frac{\gamma-1}{2}M_{1}^{2}\\ \fr... ...{1}^{2}\\ \frac{\rho_{1}}{\rho_{0}} & = & 1-\frac{1}{2}M_{1}^{2}\end{eqnarray*}$$

On constate que les variations relatives à faible nombre de Mach sont proportionnelles à $M_{1}^{2}$, et sont négligeables pour $M_{1}<0.1$ (moins de $1\%$). A température ambiante $c=360\, m/s$, un nombre de Mach $M_{1}=0.1$ correspond donc à une vitesse de $36\, m/s$ soit $130\, km/h$. Cela justifie l'hypothèse d'écoulement incompressible $\rho=cste$ pour des vitesses telles que $M<0.1$.

ATTENTION: pour un écoulement incompressible, la masse volumique, la pression et la température sont constantes dans l'équation de bilan de masse et d'énergie (les fluctuations sont négligeables). Par contre dans l'équation de bilan de quantité de mouvement le terme en gradient de pression $-\overrightarrow{grad}\, p$ doit être conservé, car il est du même ordre que le terme d'inertie $\overrightarrow{U}.\overrightarrow{grad}\,\overrightarrow{U}$ . Ce sont en effet les fluctuations de pression (dites fluctuations dynamiques) qui génèrent l'écoulement. Par contre ces fluctuations sont négligeables devant la pression totale (pression thermodynamique), ce qui permet de considérer les propriétés thermodynamiques d'un fluide incompressible comme constantes.

3.5.2.2 Évolution du Mach dans une tuyère adaptée

Étudions l'évolution de la quantité de mouvement $Q=\rho U$ dans la tuyère. Pour cela exprimons $Q$ en fonction du nombre de Mach $M$ , de $p$ et de $T$

$$Q=\frac{p}{RT}M\sqrt{\gamma RT}=Mp\sqrt{\frac{\gamma}{RT}}$$

en remplaçant $p$ et $T$ en fonction des conditions d'arrêt (3.14,  3.15)

$$Q=Mp_{0}\sqrt{\frac{\gamma}{RT_{0}}}\left(\frac{1}{1+\frac{\... ...{\gamma-1}}\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

soit

$$Q=p_{0}\sqrt{\frac{\gamma}{RT_{0}}}\frac{M}{\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^{2}\right)^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}}$$

Si la tuyère est adaptée, l'écoulement est sonique au col $S^{*}$, et la quantité de mouvement au col $Q^{*}$ est obtenue en faisant $M=1$ dans l'expression précédente

$$Q^{*}=p_{0}\sqrt{\frac{\gamma}{RT_{0}}}\left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}$$

d'où le rapport $\frac{Q^{*}}{Q}=\frac{S}{S^{*}}$ qui est aussi le rapport des sections d'après la conservation de la masse:

$$\frac{Q^{*}}{Q}=\frac{S}{S^{*}}=\frac{1}{M}\left[\frac{2}{\g... ...\gamma-1}{2}M^{2}\right)\right]^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}$$ (3.16)

Cette relation permet de définir l'évolution du nombre de Mach en fonction de la section de la tuyère.

On constate que pour une section donnée, on a deux nombres de Mach possibles, un Mach supersonique ou un Mach subsonique. Donc pour une tuyère de Laval adaptée, on a 2 écoulements possibles. En effet dans la partie convergente, l'écoulement est forcément subsonique (puisqu'on part d'un écoulement au repos). Par contre dans la partie divergente, l'écoulement peut être soit subsonique, soit supersonique suivant la valeur de la pression en sortie de tuyère. En effet ayant la valeur du nombre de Mach, la relation 3.15 nous fournit la pression correspondante. Sur la figure ci-dessous on a tracé l'évolution des quantités $M,p,T,\rho$ pour une tuyère parabolique et pour les 2 types d'écoulements possibles.

On constate que si la pression de sortie (en $S/S^{*}=1.29$ ,i.e. $x=1.7$) vaut $Pe_{1}=0.83\, P_{0}$ l'écoulement reste subsonique dans la tuyère et sonique au col, par contre si la pression vaut $Pe_{2}=0.22\, P_{0}$, alors l'écoulement est supersonique dans la partie divergente.

Si la pression en sortie $Pe$ est supérieure à $Pe_{1}$, alors l'écoulement n'est plus sonique au col et reste subsonique dans la tuyère.

Si la pression en sortie $Pe$ est comprise entre $Pe_{1}$ et $Pe_{2}$ , alors l'écoulement n'est plus isentropique et on montrera que dans ce cas un choc se produit dans la tuyère.

Enfin si la pression en sortie est inférieure à $Pe_{2}$ , alors en sortie l'écoulement n'est plus isentropique et un choc en sortie apparaıt.