3.2 Vitesse de propagation

Considérons tout d'abord la propagation d'une perturbation de pression $dp$ dans un tuyau de section constante contenant un gaz au repos. Cette onde sonore se propage avec une célérité $c$. L'apparition d'une perturbation de pression engendre une augmentation $du$ de la vitesse du gaz, perturbation qui se propage aussi à la célérité $c.$ Considérons un volume de contrôle $AB$ qui suit le front de la perturbation $C$ (figure ci dessous)

Ce volume de contrôle se déplace à la vitesse $c$ par rapport à un référentiel fixe et l'écoulement relatif peut être considéré comme stationnaire en temps. Donc dans la section $B$ après le front (fluide au repos), la vitesse relative vaut $u_{B}=-c$ , la pression $p$ et la masse volumique $\rho,$ et dans la section $A$ avant le front, la vitesse relative du fluide vaut $u_{A}=du-c$, la pression $p+dp$ et la masse volumique $\rho+d\rho$.

L'équation de bilan de la masse intégrée entre $A$ et $B$ s'écrit:

$$(du-c)*(\rho+d\rho)=-c*\rho$$

d'où au premier ordre l'accroissement de vitesse:

$$du=c\frac{d\rho}{\rho}$$

De la même façon l'équation de bilan de la quantité de de mouvement intégrée entre $A$ et $B$ s'écrit:

$$(\rho+d\rho)(du-c)^{2}+(p+dp)=\rho c^{2}+p$$

et en ne conservant que les termes au premier ordre

$$dp+c^{2}d\rho=2\rho c\, du$$

et en remplaçant $du$, on obtient- l'expression de la célérité de l'onde de pression:

$$c^{2}=(\frac{dp}{d\rho})$$

Cette expression de la célérité des ondes est en fait générale (i.e. ne dépend pas du type de gaz), à condition de noter que l'expression trouvée suppose des petites perturbations (i.e. un écoulement isentropique). Dans ce cas, on a pour un gaz :

$$c^{2}=\left(\frac{\partial p}{\partial\rho}\right)_{s=cste}$$

Pour un gaz parfait, on a montré que l'écoulement isentropique vérifiait

$$\frac{p}{\rho^{\gamma}}=cste$$

ce qui nous donne l'expression de la célérité des ondes dans un gaz parfait

$$c^{2}=\gamma\frac{p}{\rho}=\gamma RT$$

qui dépend donc de $\sqrt{T}$. Pour de l'air à température ambiante $T=320\, K$, $R=287$, $\gamma=1.4$ la vitesse du son vaut $c=360\, m/s$

Remarque: pour un écoulement isentropique, on peut remplacer l'équation de bilan de l'énergie par la relation (valable pour n'importe quel gaz):

$$c^{2}=\frac{dp}{d\rho}$$