2.3 Bilan de quantité de mouvement

Pour un écoulement stationnaire, l'équation de bilan locale de quantité de mouvement s'écrit sous forme conservative (en notant $\overline{\overline{Id}}$ le tenseur identité ):

$$div(\rho\overrightarrow{U}\otimes\overrightarrow{U}+p\,\overline{\overline{Id}})=0$$

Pour un écoulement stationnaire, le flux de quantité de mouvement et de pression $\rho\overrightarrow{U}\otimes\overrightarrow{U}+p\,\overline{\overline{Id}}$ est nul à travers n'importe quelle surface fermée (théorème de la divergence)

$$\int_{S}(\rho\overrightarrow{U}\otimes\overrightarrow{U}).\overrightarrow{n}+p\overrightarrow{n}\, dS=\overrightarrow{0}$$

De façon générale, si la surface de contrôle contient une section d'entrée $S_{1}$, une section de sortie $S_{2}$, et des frontières non débitantes $S_{W}$ (parois solides), les équations précédentes s'écrivent:

$$\underbrace{\int_{S_{1}}(\rho_{1}\overrightarrow{U_{1}}\otim... ...int_{S_{w}}p\,\overrightarrow{n}\, dS}_{\overrightarrow{R_{w}}}$$

qui traduisent le théorème fondamental de la dynamique appliqué au volume de contrôle fluide:

“la variation de la quantité de mouvement dans le volume fluide ( i.e la différence de flux entre l'entrée et la sortie $\Delta(m\overrightarrow{V})_{12}$ ) est égale à la somme des forces extérieures appliquées au volume fluide ( i.e. la force exercée par le fluide extérieur $\overrightarrow{P}_{f}$ et la force exercée par les parois $\overrightarrow{R_{w}}$)”.

Cette relation se généralise au cas où d'autres forces s'exercent sur le fluide comme la gravité, en général négligeable, les forces électromagnétiques et même les frottements (que l'on a négligé ici).

En considérant le cas du domaine de la figure 2.1 pour un écoulement bidimensionnel, on écrit la projection de ces équations suivant $Ox$ et $Oy$ (en tenant compte de l'orientation des normales):

$$\begin{eqnarray*} -\rho_{1}U_{1}^{2}S_{1} & = & p_{1}S_{1}+R_{x}\\ \rho_{2}U_{2}^{2}S_{2} & = & -p_{2}S_{2}+R_{y}\end{eqnarray*}$$

Donc dans l'exemple choisi la force $\overrightarrow{R}$ exercée par les parois sur le fluide a donc une composante $R_{x}$suivant $Ox$ négative et une composante $R_{y}$suivant $Oy$ positive (et évidemment l'inverse pour la force exercée par le fluide sur les parois).