1.8 Equation d'état des gaz parfaits

On montre en théorie cinétique des gaz que les propriétés thermodynamiques d'un gaz sont fonctione de 2 quantités moléculaires: la masse volumique et le module de la vitesse des molécules. Donc les propriétés thermodynamiques sont déterminées par deux variables d'état, les autres étant déterminées par une équation d'état. On doit donc avoir $e=e(p,\rho)$

Pour un gaz parfait (air par exemple), l'équation d'état s'écrit:

$$\frac{p}{\rho}=RT$$

où $R$ est une constante qui dépend de la composition moléculaire du gaz:

$$R=\mathcal{R}/M$$

où $\mathcal{R}$ est la constante universelle des gaz parfait $\mathcal{R}=8,31\, J\, K^{-1}mol^{-1}$ et $M$ la masse molaire du gaz (en $kg/mol$). Pour l'air, on a $n=29\, g/mol$, d'où la valeur de la constante $R$ de l'air:

$$R=287\, m^{2}s^{-2}K^{-1}$$

De plus l'énergie interne $e$ par unité de masse ne dépend que de la température: $e=e(T)$ . En notant $C_{v}$ la chaleur spécifique à volume constant: $C_{v}=\left(\frac{\Delta Q}{\Delta T}\right)_{V}$, on a

$$de=C_{v}\, dT\,\mbox{\, avec\, }\, C_{v}=C_{v}(T)$$

Pour un gaz qualorifiquement parfait (air à température usuelle), $C_{v}$ est constante et on a:

$$e=C_{v}T$$

D'où la relation entre $e=e(p,\rho)$

$$e=\frac{C_{v}}{R}\frac{p}{\rho}$$

Cette relation peut être simplifiée en introduisant $C_{p}$ , la chaleur spécifique à pression constante: $C_{p}=\left(\frac{\Delta Q}{\Delta T}\right)_{p}$qui vérifie:

$$h=C_{p}T\,\mbox{\, ,\, }C_{p}-C_{v}=R\,\mbox{\, et\, }\,\gamma=\frac{C_{p}}{C_{v}}$$

Le rapport des chaleurs spécifiques est constant et vaut $\gamma=1.4$ pour un gaz diatomique (air). D'où l'expression de $e=e(p,\rho)$

$$e=\frac{1}{\gamma-1}\frac{p}{\rho}$$

On peut déduire l'expression de l'entropie $S$ d'un gaz parfait, en utilisant la relation du premier principe pour une petite variation réversible:

$$de=TdS-pdV=TdS+p\frac{d\rho}{\rho^{2}}$$

soit

$$dS=\frac{de}{T}-\frac{p}{\rho T}\frac{d\rho}{\rho}=C_{v}\frac{dT}{T}-R\frac{d\rho}{\rho}$$

Or d'après l'équation d'état $\frac{dT}{T}=\frac{dp}{p}-\frac{d\rho}{\rho}$,

$$dS=C_{v}\,(\frac{dp}{p}-\gamma\frac{d\rho}{\rho})$$

qui après intégration donne:

$$S=S_{0}+C_{v\,}log(\frac{p}{\rho^{\gamma}})$$

On en déduit que pour un fluide isentropique (i.e. $S=cste$), on a $p/\rho^{\gamma}=cste$