1.4 Equation de bilan de masse

Puisqu'il n'y a pas création de masse, la variation de masse $\Delta\rho$ dans l'élément $dxdydz$ est nulle

$$\frac{\Delta\rho}{\Delta t}=\frac{\partial}{\partial t}\left\{ \rho\right\} dxdydz+div(\rho\overrightarrow{U})dxdydz=0$$

ce qui s'écrit après simplification (forme conservative)

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+div(\rho\overrightarrow{U})=0$$ (1.1)

soit

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial\rho u}{\parti... ...\partial\rho v}{\partial y}+\frac{\partial\rho w}{\partial z}=0$$

En décomposant, on obtient la forme non-conservative ou convective

$$\underbrace{\frac{\partial\rho}{\partial t}+\overrightarrow{... ...o\, div(\overrightarrow{U})}_{\mbox{variation\, de\, volume}}=0$$

On note que $div(\overrightarrow{U})$ représente la variation de volume du fluide par unité de temps:

$$div(\overrightarrow{U})=\frac{1}{V}\frac{DV}{Dt}$$

L'équation de conservation de la masse s'écrit donc (en suivant le mouvement d'une particule fluide) :

$$\frac{1}{\rho}\frac{D\rho}{Dt}+\frac{1}{V}\frac{DV}{Dt}=0\,\,\,\,\,\equiv\,\,\,\,\,\frac{D\rho V}{Dt}=0$$

On a une interprétation mécanique de l'équation (1.1), qui traduit: “la masse $m=\rho V$ d'une particule fluide est constante”. La variation de la masse volumique d'une particule fluide est due à la variation de son volume.

Si le fluide est incompressible, la masse volumique d'une particule fluide est constante, i.e.:

$$\frac{D\rho}{Dt}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\overrightarrow{U}.\overrightarrow{grad}\,\rho=0$$

Son volume est donc constant, et on en déduit que le champ de vitesse d'un fluide incompressible doit être à divergence nulle:

$$div\,\overrightarrow{U}=0$$