1.2 Description Eulérienne

Un fluide en mouvement est définit par des grandeurs physiques:

1. la masse volumique $\rho$ en $kg/m^{3}$ (nbre de molécules/unité de volume):
   ex air $\rho=1kg/m^{3}$
2. la vitesse $\overrightarrow{U}$ en $m/s$ qui a 3 composantes $\{ u,v,w\}$ : (vitesse moyenne macroscopique)
   ex $U=220\, m/s$ pour un avion de ligne à 800 km/h
3. la pression $p$ en $Pa$ : ( force (choc) exercée par les molécules à la surface de la particule)
   ex pression atmosphérique $p=10^{5}Pa$
4. la température $T$ en K: (agitation moléculaire des molécules)
   ex $T=300\, K$ pour T=$27^{\circ}C$

qui sont gouvernées par des équations de bilan qui traduisent les principes fondamentaux de la mécanique, à savoir:

1. la conservation de la masse,
2. le principe fondamentale de la dynamique,
3. le principe fondamentale de la thermodynamique,

et par une relation thermodynamique supplémentaire, qui permet de fermer le problème.

Pour décrire l'évolution de ces grandeurs, on ne choisit pas de suivre les particules fluides dans leur mouvement (description lagrangienne où l'observateur se déplace avec le même mouvement que les particules).

On choisit une approche eulérienne où l'observateur est à une position fixe et regarde passer les particules fluides. Pour écrire les équations de bilan, on choisit un élément de volume $dxdydz$ situé à une abscisse $(x,y,z)$ dans un repère fixe. Les grandeurs physiques dépendent alors du point d'observation $\overrightarrow{X}=(x,y,z)$ et du temps $t$:

$$\rho=\rho(\overrightarrow{X},t),\,\overrightarrow{U}=\overri... ...X},t),\, p=p(\overrightarrow{X},t),\, T=T(\overrightarrow{X},t)$$

Si on suit cette description, l'observateur verra passé les particules fluides. Si on veut suivre une particule M (dont la position est $M_{0}$ à t=0) au cours du temps, on calculera sa trajectoire, qui est tangente à chaque instant au vecteur vitesse:

$$\frac{D\overrightarrow{OM}}{Dt}=\overrightarrow{U}(\overrigh... ...x{\, avec\, }\,\overrightarrow{OM}(t=0)=\overrightarrow{OM}_{0}$$

A un instant $t_{1}$ fixé, on peut calculer les lignes de courant de l'écoulement qui sont les lignes $\psi=cste$ tangentes en chaque point au vecteur vitesse.

ATTENTION: lignes de courant et trajectoires sont en général différentes sauf pour un écoulement stationnaire (dont les propriétés ne dépendent pas du temps).

Pour calculer l'accélération d'une particule, on doit suivre cette particule: on note $\frac{D}{Dt}$ la dérivée particulaire ( i.e. le long de la trajectoire), et $\frac{\partial}{\partial t},\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}$ les dérivées partielles eulériennes (i.e. en un point fixe de l'espace):

$$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{\gamma}= & \frac{D\overrightarrow{^{2}OM}}{Dt^... ...overrightarrow{grad}v\\ \overrightarrow{grad}w\end{array}\right]\end{eqnarray*}$$