0.1 Rappel de Mathématique

0.1.1 vecteurs

0.1.1.1 vecteur en 2D

Soient $\overrightarrow{A}$ et $\overrightarrow{B}$ deux vecteurs de $R^{2}$:

• composantes dans un repère cartésien : $[A_{1},A_{2}]$ ou $\{ A_{i}\}_{i=1,2}$, $\{ B_{i}\}_{i=1,2}$
• produit scalaire: scalaire $\overrightarrow{A}.\overrightarrow{B}=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}=\sum_{i=1}^{2}\, A_{i}B_{i}$
• norme euclidienne: $\left\Vert \overrightarrow{A}\right\Vert =\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}}$
• produit vectoriel: vecteur $\overrightarrow{C}=\overrightarrow{A}\wedge\overrightarrow{B}$ perpendiculaire au plan d'amplitude $A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}$
• produit tensoriel: matrice $\overline{\overline{M}}=\overrightarrow{A}\otimes\overrightarrow{B}$= $\left[\begin{array}{cc} A_{1}B_{1} & A_{1}B_{2}\\ A_{2}B_{1} & A_{2}B_{2}\end{array}\right]$ avec $M_{ij}=A_{i}B_{j}$
• on note $\left[x_{1},x_{2}\right]$ les coordonnées cartésiennes d'un point dans le repère $[\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}}]$, ou
  $\left[x,y\right]$ dans le repère $[\overrightarrow{e_{x}},\overrightarrow{e_{y}}]$

0.1.1.2 vecteur en 3D

Soient $\overrightarrow{A}$ et $\overrightarrow{B}$ deux vecteurs de $R^{3}$:

• composantes dans un repère cartésien : $\{ A_{i}\}_{i=1,3}$, $\{ B_{i}\}_{i=1,3}$
• produit scalaire: scalaire $\overrightarrow{A}.\overrightarrow{B}=\sum_{i=1}^{3}\, A_{i}B_{i}$
• produit vectoriel: vecteur $\overrightarrow{C}=\overrightarrow{A}\wedge\overrightarrow{B}$ avec
  $\overrightarrow{C}=\left[\begin{array}{ccc} A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2}, & A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3}, & A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}\end{array}\right]$
• produit tensoriel: matrice $\overline{\overline{M}}=\overrightarrow{A}\otimes\overrightarrow{B}$ avec $M_{ij}=A_{i}B_{j}$
• on note $\left[x_{1},x_{2},x_{3}\right]$ les coordonnées cartésiennes d'un point dans le repère $[\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}]$, ou
  $\left[x,y,z\right]$ dans le repère $[\overrightarrow{e_{x}},\overrightarrow{e_{y}},\overrightarrow{e_{z}}]$

0.1.2 fonctions de plusieurs variables

0.1.2.1 fonction scalaire f(x,t) dépendant d'une variable d'espace x et du temps t

exemple:

$f(x,t)=2xe^{-t}$

• dérivée partielle en temps:
  $\frac{\partial f}{\partial t}=\lim_{dt\rightarrow0}\frac{f(x,t+dt)-f(x,t)}{dt}$
• dérivée partielle en espace:
  $\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{dx\rightarrow0}\frac{f(x+dx,t)-f(x,t)}{dx}$
• sa différentielle est un scalaire: $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial t}dt$

0.1.2.2 fonction scalaire f(x,y,t) dépendant de 2 variables d'espace x,y et du temps t

exemple:

$f(x,y,t)=2xye^{-t}$   

• sa différentielle est un scalaire: $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial t}dt$
• son gradient (par rapport aux variables spatiales) est un vecteur de composantes $\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}$
  $\overrightarrow{grad}f=\overrightarrow{\nabla}f\,=\,\frac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{e_{x}}+\frac{\partial f}{\partial y}\overrightarrow{e_{y}}$
  A un instant t fixé, c'est un vecteur perpendiculaire aux courbes iso-valeurs $f(x,y)=cste$, qui indique la direction où la fonction $f$ croıt.
• on note $\overrightarrow{grad}=\overrightarrow{\nabla}$ le vecteur opérateur dérivé:
  $\overrightarrow{\nabla}=\left[\begin{array}{ccc} \frac{\partial}{\partial x} & ... ...c{\partial}{\partial x_{1}} & \frac{\partial}{\partial x_{2}}\end{array}\right]$

0.1.2.3 fonction scalaire f(x,y,z,t) dépendant de 3 variables d'espace et du temps

exemple:

$f(x,y,z,t)=2xyze^{-t}$

• sa différentielle est un scalaire: $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz+\frac{\partial f}{\partial t}dt$
• son gradient (par rapport aux variables spatiales) est un vecteur:
  $\overrightarrow{grad}f=\overrightarrow{\nabla}f\,=\,\frac{\partial f}{\partial ... ...al y}\overrightarrow{e_{y}}+\frac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{e_{z}}$

0.1.2.4 fonction vectorielle $\overrightarrow {U}(x,y,t)$ en 2D

c'est une fonction vectorielle de composantes $\{ u(x,y,t),\, v(x,y,t)\}$

exemple:

$\overrightarrow{U}(x,y,t)=\left[\begin{array}{cc} 2xye^{-t} & (x^{2}+y^{2})e^{t}\end{array}\right]$  

• sa matrice Jacobienne est la matrice des gradients:
  
  
  $$J=\left[\begin{array}{cc} \frac{\partial u}{\partial x} & \f... ...rray}\right]=\left[\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}\right]$$
  
  

• sa divergence est un scalaire: $div\,\overrightarrow{U}=\overrightarrow{\nabla}.\overrightarrow{U}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}$ .C'est la trace de $J$.
  Elle traduit la compression ou l'expansion du champs
• son rotationnel est un vecteur perpendiculaire au plan d'amplitude: $\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}$
  $\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}=\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrigh... ...ial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right\} \overrightarrow{e_{z}}$
  Il traduit la rotation solide du champ
• l'opérateur scalaire $\overrightarrow{U}.\overrightarrow{grad}()=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}$
  traduit le transport par le champ d'une quantité:
  
  
  $$F(M+\overrightarrow{dM})-F(M)=\overrightarrow{U}.\overrighta... ...,\mbox{{\, avec\,}}\,\,\overrightarrow{dM}=\overrightarrow{U}dt$$
  
  
  donne un scalaire appliqué à un scalaire: $\overrightarrow{U}.\overrightarrow{grad}f=u\frac{\partial f}{\partial x}+v\frac{\partial f}{\partial y}$
  et un vecteur appliqué à un vecteur:
  
  
  $$\overrightarrow{U}.\overrightarrow{grad}\overrightarrow{U}=\... ...v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}\end{array}\right]$$
  
  

0.1.2.5 fonction vectorielle $\overrightarrow {U}(x,y,z,t)$ en 3D

c'est une fonction vectorielle de composantes $\{ u(x,y,z,t),\, v(x,y,z,t),\, w(x,y,z,t)\}$

• sa divergence est un scalaire: $div\,\overrightarrow{U}=\overrightarrow{\nabla}.\overrightarrow{U}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}$
• son rotationnel est un vecteur:
  $\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}=\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrigh... ...ial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right\} \overrightarrow{e_{z}}$
• l'opérateur scalaire $\overrightarrow{U}.\overrightarrow{grad}()=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+w\frac{\partial}{\partial z}$
  donne un scalaire appliqué à un scalaire: $\overrightarrow{U}.\overrightarrow{grad}f=u\frac{\partial f}{\partial x}+v\frac{\partial f}{\partial y}+w\frac{\partial f}{\partial z}$
  et un vecteur appliqué à un vecteur:
  
  
  $$\overrightarrow{U}.\overrightarrow{grad}\overrightarrow{U}=\... ...w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}\end{array}\right]$$
  
  

0.1.3 propriétés des opérateurs gradient, divergence, et rotationnellerotationnel

Notons enfin quelques propriétés de ces opérateurs:

• $div(\overrightarrow{grad}\, f)=\Delta f=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}$
• $\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{grad}\, f)=0$
• $div(f\overrightarrow{U})=\overrightarrow{U}.\overrightarrow{grad}\, f\,+f\, div\overrightarrow{U}$
• $\overrightarrow{grad}(\frac{1}{2}U^{2})=\overrightarrow{U}\wedge\overrightarrow... ...\overrightarrow{U}+\overrightarrow{U}.\overrightarrow{grad}\,\overrightarrow{U}$

0.1.3.1 Théorème de la divergence:

• soit $\Omega$ un domaine fermé de frontière $\Gamma$ :
  “le bilan des flux sur la surface $\Gamma$ est égale à la divergence du champ de vitesse dans le domaine”, soit
  
  
  $$\int_{\Omega}div(\overrightarrow{U})\, d\Omega=\int_{\Gamma}\overrightarrow{U}.\overrightarrow{n}\, ds$$
  
  

• Pour un domaine carré $\Omega=[0,a]x[0,a]$ de coté $a$, cela correspond à une intégration suivant les axes:

$$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}\int_{0}^{a}(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\... ... ds+\int_{\Gamma_{y=0}}\overrightarrow{U}.\overrightarrow{n}\, ds\end{eqnarray*}$$

• On généralise facilement au cas du flux $f\,\overrightarrow{U}$ d'un scalaire $f$

$$\int_{\Omega}div(f\,\overrightarrow{U})\, d\Omega=\int_{\Gamma}f\,\overrightarrow{U}.\overrightarrow{n}\, ds$$

0.1.4 Développement limitée (série de Taylor):

0.1.4.1 fonction d'une variable d'espace x et du temps t

• développement limité en temps
  $f(x,t+dt)=f(x,t)+\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial t^{2}}(dt)^{2}+\theta(dt^{2})$
• développement limité en espace
  $f(x+dx,t)=f(x,t)+\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(dx)^{2}+\theta(dx^{2})$
• développement limité en temps et en espace:
  $f(x+dx,t+dt)=f(x,t)+\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial ... ...xdt+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial t^{2}}dt^{2}+\theta(dx^{2},dt^{2})$