3.19 Réponse en fréquence d'un système mécanique

Pour analyser la réponse en fréquence d'un système mécanique régis par un ensemble d'équations différentielles à coefficients constant, on a recours à la transformation de Laplace.

3.19.1 Transformation de Laplace

La transformée de Laplace permet de transformer les équations différentielles à coefficients constants en relations algébriques plus simples.

Pour cela on définit la transformée de Laplace d'une fonction du temps $f(t)$ (définie pour $t\ge0$) comme étant la fonction $F(p)$ de la variable complexe $p$:

$$F(p)=\int_{0}^{+\infty}e^{-pt}\, f(t)\, dt$$

La transformation de Laplace vérifie en particulier la propriété suivante pour des conditions initiales nulles:

$$L(\frac{df(t)}{dt})=p\, F(p)\,,\, L(\frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}})=p^{2}\, F(p)$$

Considérons le système masse ressort amorti suivant (on note $m$ la masse, $k$ la raideur et $C$ le coefficient d'amortissement) se déplacant horizontalement sur un chariot:

On soumet ce système à une excitation $F(t)=k\, f(t)$ et on veut déterminer le déplacement $y(t)$ du système. Celui ci est solution de l'équation différentielle du second ordre:

$$\frac{m}{k}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+\frac{C}{k}\frac{dy}{dt}+y=f(t)$$ (3.9)

Par transformé de Laplace, on obtiens l'équation suivante:

$$\frac{m}{k}\, p^{2}Y(p)+\frac{C}{k}\, p\, Y(p)+\, Y(p)=F(p)$$

La fonction de transfert $H(p)$ du système est le rapport de la sortie $Y(p)$ sur l'entrée $F(p)$:

$$H(p)=\frac{Y(p)}{F(p)}=\frac{k}{m\, p^{2}+C\, p+k}$$ (3.10)

3.19.2 Réponse en fréquence

Pour une excitation harmonique $f(t)=e^{j\omega t}$, cette fonction de transfert s'écrit ($p=j\omega)$:

$$H(\omega)=\frac{\frac{k}{m}}{\frac{k}{m}-\omega^{2}+j\omega\,\frac{C}{m}}$$

En notant $\omega_{0}=\sqrt{k/m}$ la fréquence propre de résonnance du système, et $\alpha=C/m$ , la fonction de transfert s'écrit:

$$H(\omega)=\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}+j\alpha\omega}$$

dont le module donne l'amplification en fréquence de la sortie par rapport à l'entrée:

$$\vert H(\omega)\vert=\frac{\omega_{0}}{\sqrt{(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})^{2}+\omega^{2}\alpha^{2}}}$$ (3.11)

Le tracé de cette fonction en échelle $log_{10}log_{10}$ donne la réponse en fréquence du système en régime permanent.

Le tracé en décibel (db=20$log_{10}$) s'appelle le “diagramme de Bode”. Un exemple de ces deux diagrammes est donnée ci-dessous. On note bien sur ces diagrammes la résonnance pour la fréquence propre $\omega_{0}=\sqrt{k/m}$, la largueur du pic étant fonction du paramêtre d'amortissement $\alpha$ . A haute fréquence la pente en échelle log vaut $-2$ ou $-40\, db$ en décibel. C'est l'ordre du système différentiel (ici 2).

3.19.3 Fonction de transfert

L'équation différentiel 3.9 peut s'écrire comme un système d'ordre 1 en introduisant le vecteur inconnu d'état $X=\left[\begin{array}{c} y\\ \dot{y}\end{array}\right]$ donnant la position $X_{1}=y(t)$ et la vitesse $X_{2}=\dot{y}(t)$:

$$\begin{eqnarray*} \frac{dX_{1}}{dt} & = & X_{2}\\ \frac{dX_{2}}{dt} & = & \frac{k}{m}\, f-\frac{k}{m}X_{1}-\frac{C}{m}X_{2}\end{eqnarray*}$$

Ce système s'écrit sous forme matricielle

$$\frac{dX(t)}{dt}=A\, X(t)+B\, f(t)$$ (3.12)

où $B=\left[\begin{array}{c} 0\\ k/m\end{array}\right]$ est la matrice d'entrée $(2x1)$ associée à l'entrée $f(t)$, et $A$ la matrice

$$A=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -\frac{k}{m} & -\frac{C}{m}\end{array}\right]$$

La transformée de Laplace du système 3.12 s'écrit:

$$p\, X(p)=A\, X(p)\,+B\, F(p)$$

ce qui donne (en notant $\mathcal{I}$ la matrice identitée 2x2) l'état $X(p)$ en fonction de l'entrée $F(p)$

$$X(p)=(p\mathcal{I}-A)^{-1}B\, F(p)$$

La première composante de ce vecteur donne la fonction de transfert en position 3.10:

$$X_{1}(p)=\frac{k}{mp^{2}+pC+k}F(p)$$

et la seconde la fonction de transfert en vitesse:

$$X_{2}(p)=\frac{pk}{mp^{2}+pC+k}F(p)$$

3.19.4 programme Matlab

Le programme Matlab suivant 3.19.4 permet le tracé de la réponse en fréquence de la fonction de transfert $H(p)$

$$H(p)=\frac{num(p)}{den(p)}=\frac{\sum_{k=1}^{nn}a_{k}p^{nn-k}}{\sum_{k=1}^{nd}b_{k}p^{nd-k}}$$

On fournit les coefficients $[a_{1},a_{2}..a_{nn}]$ et $[b_{1},b_{2},..b_{nd}]$ du polynôme en p du numérateur et du dénominateur (avec les conventions Matlab pour les polynômes) ainsi que la gamme de fréquence $[\omega_{min},\omega_{max}]$.

programme matlab 3.19.4: Trace de la réponse en fréquence

function TraceBode(num,den,omega)
% trace du diagramme de Bode de la fonction de transfert
% H(p)=num(p)/den(p)   avec p=i*omega
% Num et Den contiennent les coefficients reels 
% des polynomes en p
% (C) M. BUFFAT 2005
nn=length(num); % degre numerateur
nd=length(den);
% calcul des coefficients complexes des polynomes en i*omega
NUM=zeros(nn,1);
for j=1:nn
    NUM(j)=num(j)*(i)^(nn-j);
end;
DEN=zeros(nd,1);
for j=1:nd
    DEN(j)=den(j)*(i)^(nd-j);
end;
% determination des valeurs
OMEGA=logspace(log10(omega(1)),log10(omega(2)),100);
% calcul du module
NH=abs(polyval(NUM,OMEGA))./abs(polyval(DEN,OMEGA));
% trace
loglog(OMEGA,NH,'LineWidth',2)
title('Reponse en Frequence');
xlabel('omega'); ylabel('|H|');
grid on
% fin
return

L'execution du programme 3.19.4 avec les parametres $\omega_{0}=100$, $\alpha=0.1$ et pour $1<\omega<1000$:

>> TraceBode([100],[1,0.1,100],[1 1000])

fournit la courbe suivante: