3.17 Vibrations libres d'un système masse ressort

Si on considère un système de $N$ “masse/ressort”, l'équilibre statique est obtenu par résolution du système linéaire suivant:

$$K\{\overline{U}\}=\{F\}$$

où $K$ est la matrice de raideur (de dimension $(N+1)^{2}$), $\{\overline{U}\}$ le vecteur des déplacements aux noeuds (de dimension $N$) et $\{F\}$ le vecteur des forces appliquées aux noeuds (de dimension $N$).

Si on écarte le système de sa position d'équilibre, il se met à osciller. Le vecteur des déplacements aux noeuds $\{U(t)\}$ dépend du temps et est solution de :

$$M\,\{\frac{d^{2}U}{dt^{2}}\}=\{F\}-K\,\{U\}$$

soit en introduisant le vecteur des oscillations $\{u\}$ autour de la position d'équilibre statique:

$$M\,\{\frac{d^{2}u}{dt^{2}}\}=-K\,\{u\}$$ (3.7)

C'est un système de $N+1$ équations différentielles linéaires du second ordre. En se donnant l'amplitude du déplacement par rapport à l'équilibre à l'instant initial (on lâche le système sans vitesse initiale)

$$\{u(t=0)\}_{i=1,N+1}=\{u_{0}\}\,,\,\,\{\frac{du}{dt}\}_{i=1,N+1}=\{0\}$$

le système (3.7) admet alors une solution unique.

Cette solution est une combinaison linéaire des modes de vibrations propres, qui sont des solutions élémentaires de l'équation (3.7).

L'équation (3.7) peut se réécrire sous la forme:

$$\{\frac{d^{2}u}{dt^{2}}\}=-\mathcal{A}\,\{u\}\,\,\mbox{{\, avec\,}}\,\,\mathcal{A}=M^{-1}K$$ (3.8)

où $\mathcal{A}$ est une matrice symétrique définie positive^3.1 .

Cette matrice est donc diagonalisable et possède $(N+1)$ valeurs propres positives $\{\lambda_{k}\}_{k=1,N+1}$. Chacune des valeurs propres $\lambda_{k}$ est associée à un vecteur propre $\Lambda^{k}$, vérifiant:

$$\mathcal{A}\{\Lambda^{k}\}=\lambda_{k}\{\Lambda^{k}\}$$

Une solution élémentaire de (3.8) s'écrit:

$$\{u^{k}\}=\{\Lambda^{k}\}e^{j\sqrt{\lambda_{k}}t}$$

puisque :

$$\mathcal{A}\{u^{k}\}=(\mathcal{A}\{\Lambda^{k}\})e^{j\sqrt{\... ...{k}\{\Lambda^{k}\}e^{j\sqrt{\lambda_{k}}t}=\lambda_{k}\{u_{k}\}$$

$$\{\frac{d^{2}u^{k}}{dt^{2}}\}=\{\Lambda^{k}\}\frac{d^{2}e^{j... ...k}\{\Lambda^{k}\}e^{j\sqrt{\lambda_{k}}t}=-\lambda_{k}\{u_{k}\}$$

Ces solutions élémentaires sont indépendantes et forment une base de solutions de (3.8).

La solution générale de (3.8) est donc la combinaison linéaire de ces solutions élémentaires qui vérifie la condition initiale:

$$\{u\}=\sum_{k=1}^{N+1}\alpha_{k}\{\Lambda^{k}\}e^{j\sqrt{\lambda_{k}}t}$$

Ces solutions élémentaires $u_{k}$ sont les modes de vibrations propres du système, associés aux fréquence propres $f_{k}=\frac{\sqrt{\lambda_{k}}}{2\pi}$.

ATTENTION

à cause des conditions aux limites, on retrouve parmi les modes propres, des modes propres (dit mode propre rigide de translation) associés à la condition aux limites:

$$U_{1}=0\,\mbox{{statique}}\,,\,\,\frac{d^{2}u_{1}}{dt^{2}}=-u_{1}\,\mbox{{dynamique}}$$

et donc à une valeur propre $\lambda=1$.
Ces modes sont évidement à éliminer .