3.16 Vibration d'un ressort

Considérons le ressort linéaire de raideur $k$, dont l'extrémité 1 est fixe et ayant une masse $m$ accrochée à l'extrémité 2.

L'équilibre statique du système soumis à une force extérieur $f_{2}$ s'écrit:

$$k\,(\bar{U}_{2}-0)=f_{2}$$ (3.5)

Si on écarte la masse de cette position d'équilibre statique $\bar{U}{}_{2}$, le système oscille (vibration) avec un déplacement $U_{2}(t)$ solution de l'équation de la dynamique:

$$f_{2}-k\, U_{2}=m\ddot{U}_{d,2}$$ (3.6)

En décomposant le déplacement $U_{2}(t)$ en déplacement statique $\overline{U}_{2}$ et oscillation $u_{2}(t)$ autour de cette position d'équilibre:

$$U_{2}(t)=\overline{U}_{2}+u_{2}(t)$$

l'équation sur les vibrations libres $u_{2}(t)$ s'écrit (relation (3.6)-(3.5))

$$-k\, u_{2}=m\ddot{u}_{2}$$

Cette équation différentielle du second ordre admet une solution de la forme:

$$u_{2}(t)=A\cos\omega t$$

où $A$ est l'écart par rapport à l'équilibre à $t=0$ (on lâche le système sans vitesse initiale) et $\omega$ est la pulsation libre du système qui vaut:

$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$$