2.3 Matlab

Matlab

langage de manipulation numérique de matrices
(voir aussi Scilab (http://www-rocq.inria.fr/scilab))

Matlab est une boite à outils d'analyse numérique, avec un environnement agréable pour faire du calcul numérique avec sa programmation matricielle. Il dispose des méthodes usuelles de l'analyse numérique:

1. résolution de système linéaire
2. détermination des valeurs propres
3. résolution de problème non-linéaire
4. résolution d'équations différentielles (raides)
5. intégration numérique
6. optimisation et contrôle
7. graphique 2D et 3D

Utilisation de l'aide en ligne !!!

2.3.1 Rappel sur Matlab

clear

efface toutes les variables

variable

définition lors de l'initialisation

instruction

si terminer par un $;$ pas d'affichage du résultat

vecteur ligne

X=[1 2 3]; X=[1:0.5:3]; X=ones(1,5);

vecteur colonne

Y=[1;2;3]; Y=X'; Y=zeros(5,1);

matrice

A=[ 1 0; 0 1]; A=eye(2,2); M=[X;X]; M=[Y Y]; M=[Y;Y];M=A';

opérations

*, -, / , \ : X=A\B; ou X=inv(A)*B;

fonctions

s'appliquent aux matrices
sin(A); A^2; A.^2;
sin(A).^2+cos(A).^2-ones(size(A))

chaînes

caractères entre 2 ' , concatenation S=['un' ' et deux'] (tableau de car.)

entrée sortie

disp(X); X=input('X=');

2.3.2 Structures de contrôle

2.3.2.1 boucles

for var=exp, inst., end

boucle sur les colonnes de exp

for var=1:n, inst, end

boucle classique de 1 à n

Un premier exemple

X=rand(1,5);

S=0; for K=X, S=S+K^2, end;

qui peut s'écrire plus classiquement

X=rand(1,5);

S=0; for i=1:length(X), S=S+X(i)^2, end;

En général, on peut éviter les boucles explicites

Exemple

calcul d'un résidu partiel des lignes 2 à 4 d'un système 5*5

A=rand(5,5); X=rand(5,1); B=rand(5,1); R=zeros(5,1);

for i=2:4

  R(i)=B(i)

  for j=1:5

    R(i)=R(i)-A(i,j)*X(j)

  end

end

que l'on peut écrire plus efficacement

for i=2:4, R(i)=B(i)-A(i,1:5)*X(1:5), end

ou encore

R(2:4)=B(2:4)-A(2:4,1:5)*X(1:5);

2.3.2.2 Test si

if cond , inst1 ,else inst2, end

test classique (possibilité de elseif)

if x<0, y=x, else, y=-x, end

valeur logique:

0=faux, 1=vrai

opérateurs logiques:

& (et), | (ou), ~ (négation)

opérateurs relationnels:

<, <= ,> ,>= ,== ,~=

fonctions logiques:

any(Y==1), all(X==0)

2.3.2.3 Choix multiple

switch var, case val1, exp1; case val2, exp2; ...;otherwise, exp; end

 

switch num

case -1

  disp('moins un');

case 1

  disp('plus un');

case 0

  disp('zero');

otherwise

  disp('autres valeurs');

end

2.3.2.4 Boucle tant que

while cond, inst., end

exécute les instructions tant que la cdt est vrai

n=1

while prod(1:n)<1.0e100

  n=n+1
end

continue

passage à l'itération suivante

break

arrêt de la boucle interne

2.3.2.5 Script

Un programme ou suite d'instructions Matlab peut être sauvegardé dans un fichier script (M-File) ayant une extension .m

fichier program.m

1. a=0; fa=-Inf;
2. b=3; fb=-fa;
3. while (b-a) >eps*b
4.   x=(a+b)/2; fx=x^3-2*x-5;
5.   if (sign(fx) == sign(fa))
6.      a=x; fa=fx;
7.   else
8.      b=x; fb=fx;
9.   end
10. end
11. x

Pour exécuter le script, il suffit de taper le nom du fichier sans l'extension

>> program

Rem: les variables du script sont globales

2.3.2.6 Fonctions

Une fonction sont écrites dans un fichier avec une extension .m (M-File) et le nom du fichier doit être le nom de la première fonction définie (la seule visible). On l'exécute en tapant le nom avec des arguments.

fonction

function arguments de sortie = nom(arguments d'entrée)

fonction racine

1. function x=racine(a,b)
2. % calcul la racine de la fonction f(x) définie ci-après sur [a,b]
3. fa=f(a); fb=f(b); x=(a+b)/2;
4. if (fa*fb>0) x=-Inf; return; end;
5. while (b-a)>eps*x
6.   x=(a+b)/2; fx=f(x);
7.   if(sign(fx)==sign(fa))
8.    a=x; fa=fx;
9.   else
10.    b=x; fb=fx;
11.   end
12. end
13. % definition de f(x) (fonction locale)
14. function y=f(x)
15. y=x^3-2*x-5

2.3.2.7 Exemples

Fonction calculant $n!$

1ere version récursive

1. function y=fact(n)
2. if (n<=1) y=1
3. else y=n*fact(n-1)
4. end

2nd version avec une boucle

1. function y=fact(n)
2. y=1;
3. for i=2:n, y=y*i, end

3ieme version optimisée

1. function y=fact(n)
2. y=prod(1:n);

2.3.2.8 Pointeurs vers une fonction

function handle

pointeur vers une fonction=adresse

ptr_fonct=@fonction

evaluation

feval(ptr_fonct,liste arguments)

Calcul de l'intégrale $I=\int_{a}^{b}f(x)\, dx$ par la méthode des trapézes

1. function A=trapezes(ptr_f,a,b,n)
2. h=(b-a)/n; X=[a:h:b]; Y=feval(ptr_f,X);
3. A=h*((Y(1)+Y(n+1))/2+sum(Y(2:n)));
4. % ou A=trapz(X,Y);

Utilisation

>> fp=@sin

>> A=trapezes(fp,0,pi)

2.3.3 Optimisation

Matlab est un langage matricielle!

il faut donc utiliser en priorité les notations matricielles

Exemple: calcul de la matrice de Vandermond $A$

$$A^{t}=\left[\begin{array}{ccccc} 1 & t_{1} & t_{2} & .. & t_... ...\ 1 & t_{1}^{m} & t_{2}^{m} & .. & t_{n}^{m}\end{array}\right]$$

première version: méthode naturelle (identique au C)

1. t=[0:1:200]; n=100;
2. cpu0=cputime();
3. m=size(t,1);
4. for i=1:m
5.   for j=1:n+1
6.     A(i,j)=t(i)^(j-1);
7.   end
8. end
9. cputime()-cpu0

qui s'exécute en 4,87 sec

version matricielle optimisée

1. cpu0=cputime();
2. m=size(t,1);
3. A=zeros(m,n+1);
4. for i=1:n
5.   A(:,i+1)=A(:,i).*t;
6. end
7. cputime()-cpu0

Alors que la version matricielle s'exécute en 0,06 s, soit 80 fois plus rapidement

2.3.4 E/S avec Matlab

E/S formattées

générales et similaires au C

2.3.4.1 ouverture du fichier

fid=fopen(nomfichier,permisson)
permission='r','w' (sous windows) 'rt','wt'

2.3.4.2 lecture dans le fichier

A=fscanf(fid,format)
format='%d %g %f %s %c'

2.3.4.3 ecriture dans le fichier

count=fprintf(fid,format,A1,A2,..)

2.3.4.4 fermeture du fichier

status=fclose(fid)