1.4 Étude d'un exemple: “Pendule inversé sur une table oscillante”

1.4.1 description du problème:

Un pendule de masse m est fixé au bout d'une tige rigide de longueur l (sans masse). L'autre extrémité de la tige est fixée sur une table vibrante verticalement, dont le mouvement est sinusoıdale de la forme:

$$A\,\cos\omega t$$

En l'absence de mouvement de la table, le pendule tombe sous l'effet de la gravité.

Si la table vibre, le mouvement de la table en O est transmis par la tige au point M du pendule, et génère une accélération qui vient compensé la gravité. Pour éviter que le pendule ne tombe, il faut que la fréquence de vibration de la table $\omega/2\pi$ soit beaucoup plus grande que la fréquence d'oscillation du pendule simple $\omega_{0}/2\pi$ avec $\omega_{0}=\sqrt{g/l}$

1.4.2 mise en équation

Le bilan des forces s'exerçant sur le centre de gravité du pendule $M$:

$$m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{\gamma}$$ (1.1)

1. le poids $m\overrightarrow{g}$ suivant la verticale
2. la tension $\overrightarrow{T}$ dans la tige suivant l'axe $\overrightarrow{OM}$
3. l'accélération $m\overrightarrow{\gamma}$, qui comprend une accélération tangentielle $\gamma_{t}$ (perpendiculaire à l'axe $\overrightarrow{OM}$) et une accélération radiale $\gamma_{n}$ (parallèle à l'axe $\overrightarrow{OM}$)

Pour calculer la vitesse au point $M$, on introduit l'angle $\theta(t)$ de la tige par rapport à la verticale pour calculer les coordonnées dans le repère fixe:

$$\begin{eqnarray*} x_{M} & = & x_{O}+l\sin\theta=l\sin\theta\\ y_{M} & = & y_{O}+l\cos\theta=A\cos\omega t+l\cos\theta\end{eqnarray*}$$

L'accélération $\overrightarrow{\gamma}=\frac{d^{2}\overrightarrow{OM}}{dt^{2}}$ est obtenue en dérivant deux fois par rapport au temps la position.

Pour éliminer la tension $\overrightarrow{T}$, on projeté l'équation de la dynamique (1.1) suivant la direction tangentielle:

$$mg\sin\theta=\gamma_{t}$$

ce qui nous fournit une équation différentielle du second ordre en $\theta(t)$, que l'on ne sait pas résoudre analytiquement.

Pour résoudre numériquement l'équation, il faut se fixer des valeurs de paramètres.

On fixe la fréquence d'oscillations libres du pendule, i.e. $\omega_{0}$ en fixant la longueur de la tige $l$ (avec $g=10$):

$$l=0.1\,\,\omega_{0}=10$$

L'amplitude des oscillations de la table est choisie petite devant $l$: i.e. $A=l/10$.

Il reste donc à fixer la pulsation $\omega$ des oscillations de la table, qui est le paramètre de l'étude. On étudiera 3 cas:

1. $\omega=0$ cas sans oscillation
2. $\omega=150\gg\omega_{0}\sqrt{l/A}$ cas d'une oscillation à haute fréquence
3. $\omega=90\sim\omega_{0}\sqrt{l/A}$ cas d'une oscillation à plus basse fréquence

Il faut aussi se fixer 2 conditions initiales: $\theta(t=0)$ et $\frac{d\theta}{dt}(t=0)$ pour pouvoir intégrer numériquement l'équation différentielle du mouvement. On choisit donc une position initiale sans vitesse initiale $\frac{d\theta}{dt}=0$ mais hors d'équilibre statique $\theta=\frac{\pi}{20}\neq0$.

Pour valider , on peut comparer la solution calculée avec la solution du pendule simple en petites oscillations. Pour cela on considère que l'angle

$$\theta'=\pi-\theta$$

est petit. Dans ce cas le pendule oscille de façon sinusoıdale

$$\theta'=\theta_{0}'\cos\omega t$$

avec une pulsation $\omega$

$$\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$$

1.4.3 Solution algorithmique

1.4.4 Résolution avec Maple

Après cette analyse, on étudie la stabilité du pendule oscillant en utilisant Maple pour les calculs et la résolution numérique.

Un pendule de masse m est fixé au bout d'une tige rigide de longueur l (sans masse). L'autre extrémité de la tige est fixée sur une table vibrante verticalement, dont le mouvement est $A\cos\omega t$.

On se propose d'étudier le mouvement avec Maple en fonction de la fréquence de vibration $\omega$ de la table. Ce problème est un exemple classique de stabilité de système mécanique.

Pendule oscillant: execution avec Maple

Pendule oscillant: (version HTML)