9.4 Application au contrôle

On va utiliser une variable de couplage pour traiter le problème de contrôle de la température dans le cas d'un radiateur de micro-processeur (7).

Pour cela on mesure la température $T_{m}(t)$ en un point sur le micro-processeur, et on asservie le ventilateur, c'est à dire le coefficient $h_{2}$ d'échange par convection:

$$h_{2}=h_{1}+C(T_{m})(h_{max}-h_{1})$$

où la fonction $C(T_{m})$ est la fonction de contrôle, comprise entre 0 et 1, $h_{1}$ le coefficient d'échange sans le radiateur et $h_{max}$ le coefficient d'échange avec le ventilateur au maximum.

L'asservissement utilise un contrôle PI (proportionnel-intégrale), au lieu d'un simple contrôle on/off. On utilise un contrôle fonction $C(t)$ fonction l'écart mesurée $e(t)=T_{m}(t)-T_{0}$ où $T_{0}$ est la température de fonctionnement, et de l'intégrale de l'écart:

$$C(t)=\mu(e+\frac{1}{\tau}\int_{0}^{t}e(\xi)d\xi)$$ (9.1)

Ainsi pour une croissance linéaire de l'erreur: $e(t)=\alpha t$, le contrôle a pour expression:

$$C(t)=\mu\alpha(t+\frac{t^{2}}{\tau})$$

Le paramètre $\mu$ contrôle donc l'amplitude et $\tau$ le temps de relaxation.

Pour calculer l'intégrale dans (9.1), on introduit la solution $E(t)$ de l'équation différentielle

$$\frac{dE}{dt}=\frac{1}{\tau}e(t) \mbox{{avec }} E(0)=0$$ (9.2)

ce qui permet d'écrit le contrôle $C(t)$ sous la forme:

$$C(t)=\mu(e(t)+E(t))$$

La valeur du coefficient d'échange $h_{2}$ est alors fonction de $C(t)$ par la loi

$$h_{2}=h_{1}+max(h_{max},C) \mbox{{si}} C>0 \mbox{{et}} h_{2}=h_{1} \mbox{{ sinon }}$$

Dans FEMLAB on introduit une variable supplémentaire E en un point (“multiphysique-> ajouter->Forme Faible (point)”), solution de l'équation différentielle (9.2), dont la formulation faible s'écrit:

$$\frac{dE}{dt}*\delta E=(T-T_{max})*\delta E \forall\delta E\in\mathcal{R}$$

On définit ensuite une variable de couplage $C$ fonction de $E$ et de $T$ au point de contrôle pour que le contrôle soit définie dans tout le domaine.

Les courbes ci-dessous montrent l'effet de se contrôle sur la température au point de contrôle, la valeur du contrôle $C(t)$ et la valeur résultante de $h_{2}(t)$ en fonction du temps.

Sur le dernier graphe, on visualise la mise en route et l'arrêt du ventilateur.

9.4.1 modèle FEMLAB

description du modele FEMLAB

description du modele FEMLAB (version HTML)