4.3 Précision

La précision d'un calcul numérique dépend de plusieurs facteurs, parmis lesquels:

1. le modèle mathématique
2. la discrétisation numérique du modèle mathématique
3. la précision des calculs sur l'ordinateur

Le dernier point est en général négligeable si on prend le soin de faire des calculs en double précision.

L'erreur due au choix du modèle mathématique dépend évidemment du problème physique.

L'erreur de discrétisation dépend du choix de la méthode numérique utilisée. Dans la cas des éléments finis, elle dépend:

1. du choix de l'interpolation : $P^{1}$, $P^{2}$ ...
2. du choix et de la qualité du maillage $\mathcal{T}^{h}$
3. de la façon d'imposer les conditions aux limites

Pour des éléments finis, l'erreur de discrétisation est en général majorée par une erreur d'interpolation, qui pour une approximation $P^{q}$ est d'ordre $\theta(h^{1+q})$, où $h$ est la dimension caractéristique de l'élément.

Pour un triangle $e_{k}$, on définit la taille $h_{k}$ comme la longueur du plus grand coté (figure ci-dessous).

On définit aussi le diamètre $d_{i}$ du cercle inscrit et le diamètre $d_{e}$ du cercle circonscrit, ainsi que le rapport d'aspect du triangle $R=\frac{d_{i}}{d_{e}}$. Pour un triangle équilatéral, on a $d_{e}=h$ et $d_{i}=\frac{\sqrt{2}}{3}h$, donc $R=\frac{\sqrt{2}}{3}$. Par contre pour un triangle de plus en plus aplati, le rapport d'aspect tend vers 0 (car $d_{i}\rightarrow0$) , ce qui indique la dégénérescence du triangle.

Avec ces définitions, on montre que l'erreur d'interpolation $\mathcal{P}^{1}$ sur un triangle vérifie une relation du type:

$$\left\Vert f-f^{h}\right\Vert =\sqrt{\int_{e_{k}}(f-f^{h})^{... ...2}})^{2}+(\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}})^{2}\right)dxdy}$$

Cependant la constante $C$ dépend du rapport d'aspect $R$ et l'estimation d'erreur dégénère lorsque $R\rightarrow0$, i.e. lorsque le triangle devient de plus en plus aplatis.

Sous FEMLAB, la qualité du maillage permet d'avoir une idée sur la valeur de ce rapport d'aspect $R$. Pour cela, on calcul sur chaque élément la valeur suivante, fonction de l'aire $A$ et de la longueur des cotés $h_{1},h_{2},h_{3}$:

$$q=\frac{4\sqrt{3}A}{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+h_{3}^{2}}$$

qui varie de 0 (si le triangle est dégénérée) à 1 (pour un triangle équilatéral $h_{1}=h_{2}=h_{3}=h$ et $A=\frac{\sqrt{3}}{4}h^{2}$). Un bon maillage nécéssite en générale une valeur $q\ge0,3$.