3.3 Méthode des éléments finis en 1D

La méthode des éléments finis est une méthode de construction d'une approximation $u^{h}$ polynomiale par morceaux. Pour cela on découpe le domaine de calcul en $N_{e}$ éléments, et on choisit une interpolation polynomiale de degré $p$ sur chaque élément. On construit les fonctions de base par morceaux sur chaque élément comme des polynômes de degré $k$.

Ainsi on découpe notre domaine $\Omega=[0,1]$ en $N_{e}$ segments $e_{k}=[x_{k},x_{k+1}]$, t.q. $\Omega=\bigcup e_{k}$. Un exemple de maillage est tracé sur la figure ci-dessous pour $N_{e}=2$.

La solution approchée sur ce maillage est un polynôme de degré 2 sur chacun des 2 éléments $\{ e_{1},e_{2}\}$ du maillage, qui est continue. Cette solution possède donc 3 degrés de liberté par élément, correspondant à 3 points d'interpolation: les 2 extrémités de l'élément et le noeud milieu. Compte tenu de la continuité inter-élément et des conditions aux limites 3.2, la solution approchée $u^{h}$ possède au total $2*3-1-2=3$ degrés de liberté. Ces degrés de liberté correspondent à la valeur nodale de $u^{h}$aux noeuds internes $1,2,3$. Les 3 fonctions de bases associées sont appelées fonction de base $P^{2}$: ce sont les polynômes de Lagrange sur chaque élément, qui sont tracé sur la figure ci-dessous:

La solution $u^{h}(x)$ s'écrit donc sous la forme:

$$u^{h}(x)=u_{1}\phi_{1}+u_{2}\phi_{2}+u_{3}\phi_{3}$$

les valeurs inconnues étant les valeurs nodales $\{ u_{1},u_{2},u_{3}\}$ aux noeuds internes.

Pour calculer ces valeurs nodales, on utilise la méthode des résidus pondérés sous une forme faible. Partant de la relation 3.7, on effectue une intégration par partie du terme en dérivée seconde, ce qui donne, compte tenue des conditions aux limites vérifiées par les fonctions tests $w_{i}$:

$$\int_{0}^{1}\frac{d^{2}\phi_{j}}{dx^{2}}w_{i}(x) dx=\left[... ...x} dx=-\int_{0}^{1}\frac{d\phi_{j}}{dx}\frac{dw_{i}}{dx} dx$$

En reportant dans 3.7, on obtiens la formulation faible des résidus pondérés

$$\sum_{j=1}^{N}u_{j}\int_{0}^{1}\frac{d\phi_{j}}{dx}\frac{dw_... ...{dx} dx=-\int_{0}^{1}f(x) w_{i}(x) dx \forall i=1,N$$ (3.10)

Cette formulation faible est plus intéressante que la formulation forte 3.7, car elle ne fait intervenir que des dérivées premières, et donc la construction et le choix des fonctions de base s'en trouve facilité. On peut ainsi choisir des fonction de base $P^{1}$, i.e. polynomiales de degré 1 sur chaque élément. Cette formulation faible a aussi une interprétation mécanique importante: elle correspond à l'application du théorème des travaux virtuels (voir le cours sur les éléments finis).

En choisissant comme fonctions tests $w_{i}$, les fonctions de base $\phi_{i}$ associées au degré de liberté de $u^{h}$:

$$w_{i}(x)=\frac{\partial u^{h}}{\partial u_{i}}=\phi_{i}(x)$$

on obtiens le système linéaire $3x3$ permettant de calculer les valeurs nodales $\{ u_{1},u_{2},u_{3}\}$

$$\sum_{j=1}^{3}u_{j}\int_{0}^{1}\frac{d\phi_{j}}{dx}\frac{d\p... ...dx} dx=-\int_{0}^{1}f(x) \phi_{i}(x) dx \forall i=1,3$$

Après résolution, on a:

$$u_{1}=0.114356 \„ u_{2}=0.154135 \„ u_{3}=0.114356$$

que l'on peut comparer avec les valeurs exactes en $x=\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4}$

$$u_{e}(\frac{1}{4})=0.114423, u_{e}(\frac{1}{2})=0.154136, u_{e}(\frac{3}{4})=0.114423$$

On constate que l'on a calculer la solution de $\mathcal{P}^{1}$ avec une très bonne précision de 4 chiffres significatifs avec seulement 2 éléments.