5.4 Écoulements réels

Dans le cas d'un écoulement de fluide réel, il faut tenir compte de la viscosité du fluide et des échanges de chaleur par conduction, ou rayonnement.

Pour tenir compte de la viscosité du fluide, on introduit le tenseur des contraintes visqueuses $\overline{\overline{\tau}}$, qui pour un fluide newtonien de viscosité $\mu$ s'écrit:

$$\tau_{ij}=\mu\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\fr... ...-\frac{2}{3}\mu\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}\delta_{ij}$$

soit

$$\overline{\overline{\tau}}=\mu\left[\overline{\overline{grad... ...div(\overrightarrow{u})\overline{\mathcal{\overline{I}}}\right]$$

Le flux de chaleur par conduction peut se modéliser avec la loi de Fourier pour un fluide de coefficient de conduction $k$:

$$\overrightarrow{Q}=-k\,\overrightarrow{grad}(T)$$

Les équations de bilan pour un écoulement compressible d'un fluide visqueux s'écrivent alors:

$$\frac{\partial W_{i}}{\partial t}+div(\overrightarrow{F_{i}}(\overrightarrow{W}))=R_{i}(\overrightarrow{W})$$

où $R_{i}(\overrightarrow{W})$ représentent les termes sources dans les équations de bilan de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie

$$R_{\rho}=0,\,\,\, R_{u,v,w}=\overrightarrow{div}(\bar{\bar{\... ...r{\bar{\tau}})\otimes\overrightarrow{u}-div(\overrightarrow{Q})$$

Les nombres sans dimension caractéristiques sont

1. le nombre de Mach $M_{a}=\frac{U}{c}$
2. le nombre de Reynolds $R_{e}=\frac{\rho UL}{\mu}$
3. le nombre de Prandtl $Pr=\frac{\mu C_{p}}{\lambda}$