6.15 Introduction au problème non linéaire

La méthode des éléments finis a été appliquée à des problèmes linéaires:

$$\mathbf{L} u=f$$

où $\mathbf{L}$est un opérateur linéaire (intégrant l'équation aux dérivées partiels et les conditions aux limites), $u$ la fonction solution et $f$ le second membre.

La formulation éléments finis conduit à la détermination d'un vecteur $u^{h}$, solution du système linéaire:

$$\mathbf{A} u^{h}=B$$

Si le problème est non linéaire, i.e. l'opérateur $\mathbf{L}$ dépend de la solution:

$$\mathbf{L}(u)=f$$ (6.2)

la formulation éléments finis conduit à un système de $n$ équations non linéaires en $u^{h}$

$$\mathbf{S}(u^{h})=0$$ (6.3)

Pour résoudre ce système non linéaire, on utilise une méthode de Newton, dont le principe est donné sur la figure ci dessous:

A partir d'une solution initiale $u^{0}$, on construit une suite de vecteurs $u^{k}$ tels que $u^{k+1}$ soit solution du système linéaire ($u^{k}$ étant connu):

$$\mathbf{J}(u^{k}) \left(u^{k+1}-u^{k}\right)=-\mathbf{S}(u^{k})$$

$\mathbf{J}(u^{k})$ est la matrice Jacobienne du problème 6.3, i.e.

$$\mathbf{J}(u^{k})=\frac{\partial\mathbf{S}}{\partial u}(u^{k})$$

soit en notant $u^{h}=\{ u_{i}\}$ le vecteur solution approchée

$$\mathbf{J}_{ij}=\frac{\partial\mathbf{S}_{i}}{\partial u_{j}}$$

C'est une approximation de la jacobienne du problème continu $\mathcal{J}=\frac{\partial L}{\partial u}$

• Attention, la méthode de Newton converge rapidement localement, i.e. si la solution initiale $u^{0}$ est proche de la solution cherchée $u^{h}$. Il faut donc une bonne initialisation.
• Attention, en générale on ne sait pas calculer explicitement la matrice Jacobienne exacte. La méthode de Newton peut donc ne pas converger si le Jacobien n'est pas exacte.