6.1 Introduction

Considérons l'analyse des flux aérodynamiques autour d'un avion en mouvement ; le problème revient à déterminer en chaque point du milieu et à chaque instant, la valeur de paramètres comme la température, la pression, etc. Le phénomène étudié peut être modélisé par les équations de Navier-Stokes qui expriment la conservation de la masse, du moment et de l'énergie ; en coordonnées cartésiennes, et dans leurs formes complètes, ces équations comprennent plus de soixante dérivées partielles. La résolution numérique de ces équations s'avère nécessaire dans la mesure où une résolution analytique est problématique. La prise en compte des équations de Navier-Stokes dans leur totalité conduirait à des maillages comprenant de $10^{12}$ à $10^{15}$ points. Si l'on considère un problème simplifié décrit sur un maillage comprenant $10^{7}$ points, avec 20 valeurs attachées à chaque point (paramètres du problème, éléments de géométrie, résultats intermédiaires, etc.), le modèle discret considéré comporte $2 10^{8}$ données; suivant le type de problème, le volume de calculs peut atteindre $10^{13}$ (pour les méthodes les plus efficaces) à $10^{15}$opérations arithmétiques. Pour un ordinateur capable d'exécuter $10^{7}$ opérations arithmétiques par seconde (10 Mflops), le temps de calcul est de l'ordre de $10^{17}/10^{7}$ secondes, soit environ 278 heures ou encore près de 12 jours (et jusqu'à 1200 Jours soit 4 ans).

La majeur partie du temps de calcul est consacrée à la résolution de système linéaire de grande taille de la forme

$$A.X=B X,B\in\mathcal{R}^{n} n grand$$