Analyse de champ

Marc BUFFAT, dpt mécanique, Université Claude Bernard Lyon 1

Mise à disposition selon les termes de la

.

%matplotlib inline
import numpy as np
import scipy as sp
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import animation
from cinematique import part_animation

Analyse locale d’un champ¶

Etude locale de la trajectoire d’une particule fluide dans un champ de vitesse $U$ dont on se donne le gradient: $\mathbf{grad}\,U$

Localement le champ de vitesse en $X_0+dX$ est:

u = u_0 + \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy

(1)

v = v_0 + \frac{\partial v}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy

(2)

\vec{U} = \vec{U}_0 + \mathbf{grad}\,\vec{U} \times d\vec{X}

(3)

Les trajectoires des particules fluides $\vec{M}(t)=\vec{M}_0(0)+d\vec{M}$ vérifient:

\frac{d \vec{M}}{dt} = \vec{U}(M) = \vec{U}_0 + \mathbf{grad}\,\vec{U} \times d\vec{M}

(4)

la rotation solide d’une particule (ex: $U_\theta = \omega r$ )

\vec{\Omega} = \frac{1}{2} \mathbf{rot}\,\vec{U}

(5)

Le volume d’une particule varie comme la divergence du champ de vitesse $div\,\vec{U}$

\frac{1}{V}\frac{dV}{dt} \equiv div\,\vec{U} = trace(\mathbf{grad}\,\vec{U})

(6)

Analyse locale d’un champ 2D¶

On se donne la valeur locale $U_0$ et son gradient $\mathbf{grad} U$ du champ de la vitesse.

Locallement en supposant que ce gradient est constant on peut écrire

\vec{U}(x,y) = \vec{U}_0 + \mathbf{grad}\, \vec{U} \times \begin{bmatrix} x-x_0 \\ y-y_0 \end{bmatrix}

(7)

Champ incompressible¶

div \, \vec{U} = 0

(8)

donc

trace(\mathbf{grad} \vec{U}) = 0

(9)

U0=np.array([1.0,0.])
gradU=np.array([[-1,1.0],[1.,1.0]])
anim=part_animation(U0,gradU,FigSize=(7,5))

Gradient de U    = | -1 1 |
                   | 1 1 |
Divergence div(U)= 0.0
Rotation W_z     = 0.0
volume initiale  0.020000000000000004
Animation avec  40

plt.rc('animation', html='jshtml')
anim

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Cisaillement homogéne¶

gradU=np.array([[0,1],[0,0]])
anim=part_animation(U0,gradU,FigSize=(7,5))

Gradient de U    = | 0 1 |
                   | 0 0 |
Divergence div(U)= 0
Rotation W_z     = -0.5
volume initiale  0.020000000000000004
Animation avec  40

plt.rc('animation', html='jshtml')
anim

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Rotation homogéne¶

gradU=np.array([[0,1],[-1,0]])
anim=part_animation(U0,gradU,FigSize=(7,5))

Gradient de U    = | 0 1 |
                   | -1 0 |
Divergence div(U)= 0
Rotation W_z     = -1.0
volume initiale  0.020000000000000004
Animation avec  40

plt.rc('animation', html='jshtml')
anim

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Déformation à volume constant¶

gradU=np.array([[1,0.5],[0.5,-1]])
anim=part_animation(U0,gradU,FigSize=(7,5))

Gradient de U    = | 1 0.5 |
                   | 0.5 -1 |
Divergence div(U)= 0.0
Rotation W_z     = 0.0
volume initiale  0.020000000000000004
Animation avec  40

plt.rc('animation', html='jshtml')
anim

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Compression¶

gradU=np.array([[-1,0.],[0.,0.5]])
anim=part_animation(U0,gradU,FigSize=(7,5))

Gradient de U    = | -1 0 |
                   | 0 0.5 |
Divergence div(U)= -0.5
Rotation W_z     = 0.0
volume initiale  0.020000000000000004
Animation avec  40

plt.rc('animation', html='jshtml')
anim

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###Dilatation

gradU=np.array([[1,0.],[0.,-0.5]])
anim=part_animation(U0,gradU,FigSize=(7,5))

Gradient de U    = | 1 0 |
                   | 0 -0.5 |
Divergence div(U)= 0.5
Rotation W_z     = 0.0
volume initiale  0.020000000000000004
Animation avec  40

plt.rc('animation', html='jshtml')
anim

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Cas Général d’un écoulement compressible¶

décomposition du champ de vitesse

\vec{U}(M) = \vec{U}(O) + (\nabla \vec{U})\times\vec{OM}

(10)

en partie anti-symétrique (rotation) et symétrique (déformation)

\vec{U}(M) = \vec{U}(O) + \vec{\Omega} \wedge \vec{OM} + D

(11)

gradU=np.array([np.random.rand(2),np.random.rand(2)])
anim=part_animation(U0,gradU,FigSize=(7,5))

Gradient de U    = | 0.192231 0.954767 |
                   | 0.0823469 0.671444 |
Divergence div(U)= 0.8636741681535179
Rotation W_z     = -0.4362099720405201
volume initiale  0.020000000000000004
Animation avec  40

plt.rc('animation', html='jshtml')
anim

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partie déformation (symétrique)¶

UZ = np.array([0.,0.])
D  = 0.5*(gradU + gradU.transpose())
anim=part_animation(U0,D,FigSize=(7,5))

Gradient de U    = | 0.192231 0.518557 |
                   | 0.518557 0.671444 |
Divergence div(U)= 0.8636741681535179
Rotation W_z     = 0.0
volume initiale  0.020000000000000004
Animation avec  40

plt.rc('animation', html='jshtml')
anim

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partie rotation(antisymétrique)¶

R  = 0.5*(gradU - gradU.transpose())
anim=part_animation(U0,R,FigSize=(7,5))

Gradient de U    = | 0 0.43621 |
                   | -0.43621 0 |
Divergence div(U)= 0.0
Rotation W_z     = -0.4362099720405201
volume initiale  0.020000000000000004
Animation avec  40

plt.rc('animation', html='jshtml')
anim

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Cas Général d’un écoulement incompressible¶

gradU=np.array([np.random.rand(2),np.random.rand(2)])
gradU[1,1]=-gradU[0,0]
anim=part_animation(U0,gradU,FigSize=(7,5))

Gradient de U    = | 0.146713 0.582942 |
                   | 0.158214 -0.146713 |
Divergence div(U)= 0.0
Rotation W_z     = -0.2123639551615078
volume initiale  0.020000000000000004
Animation avec  40

plt.rc('animation', html='jshtml')
anim

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Analyse locale d’un champ¶

Analyse locale d’un champ 2D¶

Champ incompressible¶

Cisaillement homogéne¶

Rotation homogéne¶

Déformation à volume constant¶

Compression¶

Cas Général d’un écoulement compressible¶

partie déformation (symétrique)¶

partie rotation(antisymétrique)¶

Cas Général d’un écoulement incompressible¶

FIN¶