Exercices: cinématique - Cours de mécanique des fluides approfondie

Relation vectorielle¶

Démontrer la relation vectorielle pour un vecteur $\vec{v}$ de $\mathbf{R}^3$ quelconque:

\vec{v}.\overrightarrow{grad}\,\vec{v} = \frac{1}{2} \overrightarrow{grad}\,v^2 - \vec{v}\wedge \overrightarrow{rot}\,\vec{v}

On considère le champ de vitesse $\vec{v}= (u,v)$ donné par

u(x,y,t) =−xt \mbox{ et } v(x,y,t) =yt^2

Calculer la densité $\rho$ en supposant qu’elle ne dépend que du temps $\rho = \rho(t)$
Tracer le champ de vitesse à l’instant $t= 1$ .
Déterminer les lignes de courant à $t= 1$ .
Déterminer les trajectoires des particules ﬂuides.
Calculer l’évolution du volume d’une particule ﬂuide le long de sa trajectoire.

On considère une particule ﬂuide carrée de côté $h=0.1$ située à l’instant $t= 2$ en $x= 1$ et $y= 1.$

On considère le champ de vitesse suivant:

u(x,y,t) = \sin{\pi x} \cos{\pi y} \mbox{ et } v(x,y,t) =− \cos{\pi x} \sin{\pi y}

\sin\pi x \sin \pi y=Cte

Soit l’écoulement plan déﬁni par le champ de vitesse suivant:

u(x,y,t) = \omega y \mbox{ et } v(x,y,t) =−\omega x+ a \omega^2 t

où $a$ et $\omega$ sont deux constantes positives.

On considère l’écoulement donné par le champ de vitesse

u(x,y,t) = \frac{x}{\tau + t} \mbox{ , } v(x,y,t) = 0 \mbox{ , } w(x,y,t) = 0

où $\tau >0$ est une constante homogène à un temps.

L’écoulement est-il stationnaire, compressible, irrotationnel ?
Déterminer la masse volumique $\rho$ du milieu sachant que ce milieu est homogène et que la valeur de $\rho$ à $t= 0$ vaut $\rho_0$ .
Calculer la masse totale située à l’intérieur d’un cylindre de révolution de section $S$ , limité par les plans $x=l$ et $x= 3l$ .
Déterminer le ﬂux de masse traversant la surface frontière du cylindre précédent.