Approximation de Boussinesq
C’est une approximation des équations de Navier-Stokes pour des écoulements incompressibles dans lesquels existe un gradient de masse volumique vertical entraînant l’absence d’équilibre hydrostatique.
Ce type de méthode a été introduite en 1877 par Joseph Boussinesq, professeur de mécanique à l’Université de Lille (Wikipedia)
Hypothèses ¶ on veut prendre en compte des variations de masse volumique avec la température
hypothèse: faible variation de température, écoulement iso-volume
ρ = ρ ( T ) = ρ 0 + ∂ ρ ∂ T ( T − T 0 ) = ρ 0 − α ( T − T 0 ) \rho = \rho(T) = \rho_0 + \frac{\partial \rho}{\partial T} (T-T_0)
= \rho_0 - \alpha (T-T_0) ρ = ρ ( T ) = ρ 0 + ∂ T ∂ ρ ( T − T 0 ) = ρ 0 − α ( T − T 0 ) application écoulement convection libre, écoulement stratifié, atmosphère
attention ce modèle n’est valable que pour de faible variation de température !!!!
Equations de bilan ¶ développement autour du champ moyen statique, en supposant un écoulement à faible nombre de Mach isobare (i.e. les variations de pression n’ont pas d’influence sur les
quantités thermodynamiques)
ρ 0 , U ⃗ 0 = 0 , T 0 , P 0 = ρ 0 g z \rho_0, \vec{U}_0 = 0, T_0, P_0 = \rho_0 g z ρ 0 , U 0 = 0 , T 0 , P 0 = ρ 0 g z calcule de la fluctuation
δ T = T − T 0 , δ U ⃗ = u ⃗ , δ ρ = ρ 0 − ρ , δ P = P − P 0 \delta T = T-T_0, \delta \vec{U} = \vec{u}, \delta \rho = \rho_0 - \rho, \delta P = P - P_0 δ T = T − T 0 , δ U = u , δ ρ = ρ 0 − ρ , δ P = P − P 0 avec δ ρ ≪ ρ 0 \delta \rho \ll \rho_0 δ ρ ≪ ρ 0
δ T = θ , δ P = ρ 0 p et δ ρ = − α ρ 0 θ \delta T = \theta , \delta P = \rho_0 p \mbox{ et } \delta \rho = -\alpha \rho_0 \theta δ T = θ , δ P = ρ 0 p et δ ρ = − α ρ 0 θ bilan de masse: ¶ ∂ ρ ∂ t + d i v ( ρ U ⃗ ) = 0 \frac{\partial \rho}{\partial t} + div (\rho \vec{U}) = 0 ∂ t ∂ ρ + d i v ( ρ U ) = 0 qui à l’ordre 1 donne
∂ ρ 0 ∂ t + d i v ( ρ 0 u ⃗ ) = 0 \frac{\partial \rho_0}{\partial t} + div (\rho_0 \vec{u}) = 0 ∂ t ∂ ρ 0 + d i v ( ρ 0 u ) = 0 ⇝ d i v u ⃗ = 0 \leadsto div \vec{u} = 0 ⇝ d i v u = 0 le champ de vitesse est donc iso-volume
bilan de quantité de mouvement: ¶ ∂ ρ U ⃗ ∂ t + d i v ( ρ U ⃗ ⊗ U ⃗ ) = ρ g ⃗ − g r a d → P + μ Δ U ⃗ \frac{\partial \rho \vec{U}}{\partial t} + div (\rho \vec{U}\otimes \vec{U}) = \rho \vec{g} - \overrightarrow{grad}\, P + \mu \Delta \vec{U} ∂ t ∂ ρ U + d i v ( ρ U ⊗ U ) = ρ g − g r a d P + μ Δ U qui à l’ordre 1 donne
ρ 0 ∂ u ⃗ ∂ t + ρ 0 u ⃗ . g r a d → u ⃗ = − α ρ 0 θ g ⃗ − g r a d → ( ρ 0 p ) + μ Δ u ⃗ \rho_0 \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho_0 \vec{u}.\overrightarrow{grad}\vec{u} = -\alpha\rho_0\theta \vec{g} - \overrightarrow{grad}(\rho_0 p) + \mu \Delta \vec{u} ρ 0 ∂ t ∂ u + ρ 0 u . g r a d u = − α ρ 0 θ g − g r a d ( ρ 0 p ) + μ Δ u soit:
∂ u ⃗ ∂ t + u ⃗ . g r a d → u ⃗ = − α θ g ⃗ − g r a d → p + ν Δ u ⃗ \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \vec{u}.\overrightarrow{grad}\,\vec{u} = -\alpha\theta \vec{g} - \overrightarrow{grad}\, p + \nu \Delta \vec{u} ∂ t ∂ u + u . g r a d u = − α θ g − g r a d p + ν Δ u on constate la présence d’un terme de flottabilité − α θ g ⃗ -\alpha\theta \vec{g} − α θ g g ⃗ \vec{g} g
bilan d’énergie ¶ à partir de l’équation de bilan d’énergie écrite pour l’entalpie H H H
ρ D H D t − ∂ P ∂ t = d i v ( λ g r a d → T ) + σ ‾ v . g r a d ‾ ‾ U → \rho \frac{D H}{D t} - \frac{\partial P}{\partial t} = div(\lambda\overrightarrow{grad}T) +
\overline{\sigma}_{v}.\overline{\overline{grad}}\overrightarrow{U} ρ D t DH − ∂ t ∂ P = d i v ( λ g r a d T ) + σ v . g r a d U En supposant l’écoulement isobare, en négligeant le frottement visqueux, on obtiens une équation sur sur θ = T − T 0 \theta = T - T_0 θ = T − T 0 δ H = C p θ \delta H = C_p \theta δH = C p θ
ρ 0 D C p θ D t = d i v ( λ g r a d → θ ) \rho_0 \frac{D C_p \theta}{D t} = div(\lambda\overrightarrow{grad}\theta) ρ 0 D t D C p θ = d i v ( λ g r a d θ ) qui fournit l’équation classique de convection-diffusion de la fluctuation de tempéarture θ \theta θ
∂ θ ∂ t + u ⃗ . g r a d → θ = β Δ θ \frac{\partial \theta}{\partial t} + \vec{u}.\overrightarrow{grad}{\theta} =
\beta \Delta \theta ∂ t ∂ θ + u . g r a d θ = β Δ θ avec β = λ ρ 0 C p \beta = \frac{\lambda}{\rho_0 C_p} β = ρ 0 C p λ
Equations de Boussinesq ¶ d i v u ⃗ = 0 ∂ u ⃗ ∂ t + u ⃗ . g r a d → u ⃗ = − α θ g ⃗ − g r a d → p + ν Δ u ⃗ ∂ θ ∂ t + u ⃗ . g r a d → θ = β Δ θ \begin{align*}
div\, \vec{u} &= 0 \\
\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \vec{u}.\overrightarrow{grad}\,\vec{u} &= -\alpha\theta \vec{g} - \overrightarrow{grad}\, p + \nu \Delta \vec{u}\\
\frac{\partial \theta}{\partial t} + \vec{u}.\overrightarrow{grad}{\theta} &=
\beta \Delta \theta \\
\end{align*} d i v u ∂ t ∂ u + u . g r a d u ∂ t ∂ θ + u . g r a d θ = 0 = − α θ g − g r a d p + ν Δ u = β Δ θ