Lois de bilan globales en stationnaire January 1, 2012
L’objectif de cette partie est d’obtenir une information globale
sur écoulement de fluide dans un domaine Ω \Omega Ω
Applications : conception 0D de systèmes complexes
Équations locales ¶ On part de la forme conservative des équation locales, écrites dans un repère cartésien ( x , y , z ) (x,y,z) ( x , y , z )
bilan de masse
∂ ρ ∂ t + d i v ( ρ U → ) = 0 \frac{\partial\rho}{\partial t}+div(\rho\overrightarrow{U})=0 ∂ t ∂ ρ + d i v ( ρ U ) = 0 bilan de quantité de mouvement (suivant x, y et z)
en notant F μ → = d i v ( μ σ ‾ ‾ v U → ) \overrightarrow{F_{\mu}} = div(\mu \overline{\overline{\sigma}}_v\overrightarrow{U}) F μ = d i v ( μ σ v U )
∂ ρ u ∂ t + d i v ( ρ u U → ) + g r a d → p . e x → = ( ρ g → + F μ → ) . e x → ∂ ρ v ∂ t + d i v ( ρ v U → ) + g r a d → p . e y → = ( ρ g → + F μ → ) . e y → ∂ ρ w ∂ t + d i v ( ρ w U → ) + g r a d → p . e z → = ( ρ g → + F μ → ) . e z → \begin{aligned}
\frac{\partial\rho u}{\partial t}+div(\rho u\overrightarrow{U}) & +\overrightarrow{grad}\,p.\overrightarrow{e_{x}}=(\rho\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F_{\mu}}).\overrightarrow{e_{x}}\\
\frac{\partial\rho v}{\partial t}+div(\rho v\overrightarrow{U}) & +\overrightarrow{grad}\,p.\overrightarrow{e_{y}}=(\rho\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F_{\mu}}).\overrightarrow{e_{y}}\\
\frac{\partial\rho w}{\partial t}+div(\rho w\overrightarrow{U}) & +\overrightarrow{grad}\,p.\overrightarrow{e_{z}}=(\rho\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F_{\mu}}).\overrightarrow{e_{z}}\\
\end{aligned} ∂ t ∂ ρ u + d i v ( ρ u U ) ∂ t ∂ ρ v + d i v ( ρ v U ) ∂ t ∂ ρw + d i v ( ρw U ) + g r a d p . e x = ( ρ g + F μ ) . e x + g r a d p . e y = ( ρ g + F μ ) . e y + g r a d p . e z = ( ρ g + F μ ) . e z bilan d’énergie
∂ ρ e t ∂ t + d i v ( ρ h t U → ) = δ W + δ Q \begin{aligned}
\frac{\partial\rho e_{t}}{\partial t}+div(\rho h_{t}\overrightarrow{U}) & =\delta W+\delta Q\\
\end{aligned} ∂ t ∂ ρ e t + d i v ( ρ h t U ) = δ W + δ Q relations thermodynamiques
e = 1 γ − 1 p ρ et e t = e + 1 2 U 2 , h t = e t + p ρ e=\frac{1}{\gamma-1}\frac{p}{\rho}\mbox{ et }e_{t}=e+\frac{1}{2}U^{2},\,\,h_{t}=e_{t}+\frac{p}{\rho} e = γ − 1 1 ρ p et e t = e + 2 1 U 2 , h t = e t + ρ p Ce système d’équation peut s’écrire sous forme symbolique:
∂ W i ∂ t + d i v ( F i → ( W → ) ) = d i v ( G i → ( W → ) ) + S i \frac{\partial W_{i}}{\partial t}+div(\overrightarrow{F_{i}}(\overrightarrow{W}))=div(\overrightarrow{G_{i}}(\overrightarrow{W}))+S_{i} ∂ t ∂ W i + d i v ( F i ( W )) = d i v ( G i ( W )) + S i où
W → = [ ρ ρ u ρ v ρ w ρ ( e + 1 2 U 2 ) ] \overrightarrow{W}=\left[\begin{array}{ccccc}
\rho & \rho u & \rho v & \rho w & \rho(e+\frac{1}{2}U^{2})\end{array}\right] W = [ ρ ρ u ρ v ρw ρ ( e + 2 1 U 2 ) ]
F i ( W → ) F_{i}(\overrightarrow{W}) F i ( W )
F → ρ = [ ρ u ρ v ρ w ] , F → u = [ ρ u 2 + p ρ u v ρ u w ] , F → v = [ ρ u v ρ v 2 + p ρ v w ] , F → h t = [ ρ u h t ρ v h t ρ w h t ] \overrightarrow{F}_{\rho}=\left[\begin{array}{c}
\rho u\\
\rho v\\
\rho w
\end{array}\right],\,\overrightarrow{F}_{u}=\left[\begin{array}{c}
\rho u^{2}+p\\
\rho uv\\
\rho uw
\end{array}\right],\,\overrightarrow{F}_{v}=\left[\begin{array}{c}
\rho uv\\
\rho v^{2}+p\\
\rho vw
\end{array}\right],\,\overrightarrow{F}_{h_{t}}=\left[\begin{array}{c}
\rho uh_{t}\\
\rho vh_{t}\\
\rho wh_{t}
\end{array}\right] F ρ = ⎣ ⎡ ρ u ρ v ρw ⎦ ⎤ , F u = ⎣ ⎡ ρ u 2 + p ρ uv ρ u w ⎦ ⎤ , F v = ⎣ ⎡ ρ uv ρ v 2 + p ρ v w ⎦ ⎤ , F h t = ⎣ ⎡ ρ u h t ρ v h t ρw h t ⎦ ⎤ On va maintenant intégrer ces équations dans le domaine Ω \Omega Ω Thèoréme de la divergence (Green-Ostrogradski)
théoréme de la divergence ¶ ce théorème d’analyse vectorielle permet de transformer l’intégrale
de la divergence d’un vecteur F → \overrightarrow{F} F V V V S S S
Figure 1: domaine V et frontière S
∭ V d i v ( F → ) d V = ∬ S = ∂ V F → . n → d S \iiint_{V}div(\overrightarrow{F})\,dV=\iint_{S=\partial V}\overrightarrow{F}.\overrightarrow{n}\,dS ∭ V d i v ( F ) d V = ∬ S = ∂ V F . n d S Intégration en stationnaire ¶ Si on suppose l’écoulement stationnaire, en utilisant le théorème précédent l’intégration dans un volume de fluide Ω , \Omega, Ω , Γ = ∂ Ω \Gamma=\partial\Omega Γ = ∂ Ω
∫ Γ F i → ( W → ) . n → d s ⏟ f l u x c o n v e c t i f s + p r e s s i o n = ∫ Γ G i → ( W → ) . n → d s ⏟ f l u x d i f f u s i f s + ∫ Ω S i d v ⏟ t e r m e s o u r c e \underbrace{\int_{\Gamma}\overrightarrow{F_{i}}(\overrightarrow{W}).\overrightarrow{n}\,ds}_{flux\,convectifs+pression}
\,=\,\underbrace{\int_{\Gamma}\overrightarrow{G_{i}}(\overrightarrow{W}).\overrightarrow{n}\,ds}_{flux\,diffusifs}
+\underbrace{\int_{\Omega}S_{i}dv}_{terme\,source} f l ux co n v ec t i f s + p ress i o n ∫ Γ F i ( W ) . n d s = f l ux d i ff u s i f s ∫ Γ G i ( W ) . n d s + t er m e so u rce ∫ Ω S i d v Cette équation ne fait apparaître que les valeurs des variables d’état
W → \overrightarrow{W} W
On pourrait donc penser que cette relation ne fait pas intervenir la valeur de l’état dans le domaine, et donc que l’on a pas à résoudre les équations de Navier-Stokes pour l’utiliser.
Malheureusement, dues aux fortes non linéarité, l’état sur la frontière dépends de l’état à l’intérieur.
Par contre, il est en générale plus simple de faire des approximations sur l’état sur la frontière, ce qui va nous permettre de déterminer des relations entre ce qui rentre dans le domaine et ce qui en sort, et ainsi
obtenir des premières estimations, qui serviront ensuite pour analyser
l’écoulement et faire si nécessaire une étude plus précise.
Système conservatif ¶ Si on suppose que les termes sources et les fluxs diffusifs sont négligeables, alors on a conservation des flux convectifs et de pression
F → ( W → ) \overrightarrow{F}(\overrightarrow{W}) F ( W )
∫ Γ F i → ( W → ) . n → d s = 0 \int_{\Gamma}\overrightarrow{F_{i}}(\overrightarrow{W}).\overrightarrow{n}\,ds = 0 ∫ Γ F i ( W ) . n d s = 0 soit :
F → ρ \overrightarrow{F}_{\rho} F ρ
F → u \overrightarrow{F}_{u} F u
F → v \overrightarrow{F}_{v} F v
F → w \overrightarrow{F}_{w} F w
F → h t \overrightarrow{F}_{h_t} F h t h t = e + 1 2 U 2 h_t = e +\frac{1}{2}U^{2} h t = e + 2 1 U 2
Applications ¶ Considérons le domaine de contrôle suivant avec un entrée (1) horizontale de vitesse moyenne U 1 U_1 U 1 U 2 U_2 U 2
Figure 2: domaine de contrôle
Bilan de la masse ¶ Pour ce domaine, en notant S 1 S_{1} S 1 S 2 S_{2} S 2 S W S_{W} S W U → = 0 \overrightarrow{U}=0 U = 0
En raisonnant sur des quantités moyennes, en remplaçant les intégrales dans une section par la valeur moyenne fois la section, et en approximant
la moyenne du produit par le produit des moyennes:
∫ S 1 ρ U → . n → d S = − ρ 1 U 1 ‾ S 1 ≈ − ρ 1 U 1 S 1 \int_{S_1} \rho\overrightarrow{U}.\overrightarrow{n}\,dS = - \overline{\rho_1 U_1} S_1 \approx -\rho_{1}U_{1}S_{1} ∫ S 1 ρ U . n d S = − ρ 1 U 1 S 1 ≈ − ρ 1 U 1 S 1 le bilan de masse s’écrit en fonction des valeurs moyennes entrantes ρ 1 \rho_1 ρ 1 U 1 U_1 U 1 ρ 2 \rho_{2} ρ 2
− ρ 1 U 1 S 1 + ρ 2 U 2 S 2 = 0 -\rho_{1}U_{1}S_{1}+\rho_{2}U_{2}S_{2}=0 − ρ 1 U 1 S 1 + ρ 2 U 2 S 2 = 0 Bilan de quantité de mouvement ¶ le flux de quantité de mouvement et de pression
ρ U → ⊗ U → + p I d ‾ ‾ \rho\overrightarrow{U}\otimes\overrightarrow{U}+p\,\overline{\overline{Id}} ρ U ⊗ U + p I d R w → \overrightarrow{R_w} R w F v → \overrightarrow{F_v} F v
∫ S ( ρ U → ⊗ U → ) . n → d S + ∫ S p n → d S = ∫ S σ ‾ ‾ v ⊗ n → d S + F v → \int_{S}(\rho\overrightarrow{U}\otimes\overrightarrow{U}).\overrightarrow{n}dS+\int_{S}p\overrightarrow{n}\,dS=\int_{S}\overline{\overline{\sigma}}_{v}\otimes\overrightarrow{n}\,dS+\overrightarrow{F_v} ∫ S ( ρ U ⊗ U ) . n d S + ∫ S p n d S = ∫ S σ v ⊗ n d S + F v Pour la configuration étudiée on a F v → = 0 \overrightarrow{F_v}=0 F v = 0
∫ S 1 ( ρ 1 U 1 → ⊗ U 1 → ) . n → d S + ∫ S 2 ( ρ 2 U 2 → ⊗ U 2 → ) . n → d S ⏟ Δ ( m V → ) 12 = − ∫ S 1 p 1 n → − ∫ S 2 p 2 n → d S ⏟ P f → + R w → \underbrace{\int_{S_{1}}(\rho_{1}\overrightarrow{U_{1}}\otimes\overrightarrow{U_{1}}).\overrightarrow{n}dS+\int_{S_{2}}(\rho_{2}\overrightarrow{U_{2}}\otimes\overrightarrow{U_{2}}).\overrightarrow{n}dS}_{\Delta(m\overrightarrow{V})_{12}}=\underbrace{-\int_{S_{1}}p_{1}\overrightarrow{n}-\int_{S_{2}}p_{2}\overrightarrow{n}\,dS}_{\overrightarrow{P_{f}}}+\overrightarrow{R_{w}} Δ ( m V ) 12 ∫ S 1 ( ρ 1 U 1 ⊗ U 1 ) . n d S + ∫ S 2 ( ρ 2 U 2 ⊗ U 2 ) . n d S = P f − ∫ S 1 p 1 n − ∫ S 2 p 2 n d S + R w cette relation traduit le théorème fondamental de la dynamique pour un écoulement stationnaire :
la variation de la quantité de mouvement dans
le volume fluide ( i.e la différence de flux entre l’entrée et la sortie
Δ ( m V → ) 12 \Delta(m\overrightarrow{V})_{12} Δ ( m V ) 12 P → f \overrightarrow{P}_{f} P f R w → \overrightarrow{R_{w}} R w
Pour les quantités moyennes de la configuration étudiée, cela donne les
2 relations suivantes, qui donnent les 2 composantes des forces R x R_x R x R y R_y R y
− ρ 1 U 1 2 S 1 = p 1 S 1 + R x ρ 2 U 2 2 S 2 = − p 2 S 2 + R y \begin{aligned}
-\rho_{1}U_{1}^{2}S_{1} & = & p_{1}S_{1}+R_{x}\\
\rho_{2}U_{2}^{2}S_{2} & = & -p_{2}S_{2}+R_{y}
\end{aligned} − ρ 1 U 1 2 S 1 ρ 2 U 2 2 S 2 = = p 1 S 1 + R x − p 2 S 2 + R y Bilan d’énergie ¶ Si on néglige les pertes, pour la configuration étudiée, on obtiens
∫ S 1 ρ 1 ( h 1 + 1 2 U 1 2 + g z 1 ) U 1 → . n → d S + ∫ S 2 ρ 2 ( h 2 + 1 2 U 2 2 + g z 2 ) U 2 → . n → d S = 0 \int_{S_{1}}\rho_{1}(h_{1}+\frac{1}{2}U_{1}^{2}+gz_{1})\overrightarrow{U_{1}}.\overrightarrow{n}\,dS+\int_{S_{2}}\rho_{2}(h_{2}+\frac{1}{2}U_{2}^{2}+gz_{2})\overrightarrow{U_{2}}.\overrightarrow{n}\,dS=0 ∫ S 1 ρ 1 ( h 1 + 2 1 U 1 2 + g z 1 ) U 1 . n d S + ∫ S 2 ρ 2 ( h 2 + 2 1 U 2 2 + g z 2 ) U 2 . n d S = 0 qui traduit la conservation de l’énergie (entalpie totale par unité de masse) e + p ρ + 1 2 U 2 + g z e+\frac{p}{\rho}+\frac{1}{2}U^{2}+gz e + ρ p + 2 1 U 2 + g z
ρ 1 ( h 1 + 1 2 U 1 2 + g z 1 ) U 1 S 1 = ρ 2 ( h 2 + 1 2 U 2 2 + g z 2 ) U 2 S 2 ⟹ u + p ρ + 1 2 U 2 + g z = c s t e \rho_{1}(h_{1}+\frac{1}{2}U_{1}^{2}+gz_{1})U_{1}S_{1}=\rho_{2}(h_{2}+\frac{1}{2}U_{2}^{2}+gz_{2})U_{2}S_{2}\,\Longrightarrow u+\frac{p}{\rho}+\frac{1}{2}U^{2}+gz=cste ρ 1 ( h 1 + 2 1 U 1 2 + g z 1 ) U 1 S 1 = ρ 2 ( h 2 + 2 1 U 2 2 + g z 2 ) U 2 S 2 ⟹ u + ρ p + 2 1 U 2 + g z = cs t e Théorème de Bernoulli ¶ Pour un écoulement stationnaire d’un fluide incompressible isotherme en
négligeant les effets de viscosité, on applique ce bilan d’énergie sur
un tube de courant: h = e 0 + p / ρ 0 h=e_{0}+p/\rho_{0} h = e 0 + p / ρ 0 e 0 e_0 e 0
