1 Introduction

L’objectif du TP est d’analyser des données expérimentales de position en fonction du temps $(T_i,X_i)$ stockées dans un fichier data.txt situé dans le répertoire data, pour en déduire une loi simple $Y=F(X)$ permettant de faire des prédictions.

2 Méthode

On utilise le modèle mathématique simple de la droite des moindres carrés, qui consiste à déterminer la droite d’équation: $$x = a t + b$$ passant au plus près des points de mesure $(T_i,X_i)_{i=1,n}$. i.e. minimisant l’écart entre les points de mesure et les points de la droite.

3 Mise en oeuvre

On montre alors que les coefficients $a$ et $b$ sont donnés par les relations: $$a = \frac{\overline{X\,T} - \overline{X}\;\overline{T}} {\overline{T\,T} - \overline{T}^2} \quad, \quad b = \overline{X} - a \overline{T}$$ c’est-à-dire en fonction de la moyenne de différents tableaux.

Pour calculer ces moyennes, on va écrire une fonction Analyse(Tab), qui calcule la moyenne, le minimum et le maximum d’un tableau Tab passé en argument.

4 Analyse des résultats

Sur la figure suivante, on a tracé le résultat de l’analyse avec les données, le lissage par moindres carrés et la prédiction.

Sur cette figure on constate:

1. que la droite ne passe pas par tous les points de mesure (ce n’est pas de l’interpolation)
2. mais la droite passe au voisinage de tous les points
3. le point correspondant à la moyenne se trouve bien sur la droite des moindres carrés
4. la prédiction calculée est cohérente par rapport aux données.