# TP OUTPUT Planification: étude d'un pont roulant
**ERREUR:** numéro d'étudiant non spécifié!!!
**Login étudiant Toto toto uid=137764122**
**parametres de la trajectoire**: Xf=7.0 L0=7.0 Lf=8.0 Lm=4.0 alpha=0.8
## Modélisation
### objectif
On veut déplacer, à l’aide d’un système de levage par câble (grue ou pont roulant), une charge d’un endroit à un autre en évitant les oscillations résiduelles à l’arrivée. L’objectif est de proposer une stratégie de commande simple et réaliste qui repose sur une structure de commande hiérarchisée, composée de régulateurs de bas niveau rapides, simples et découplés et d’une commande de haut niveau lente et prenant en compte les couplages.
En outre, on mesure la position et la vitesse du chariot ainsi que la position et la vitesse du treuil, mais la position de la charge n’est pas mesurée. C’est pourquoi nous ne considérons que des bouclages qui ne dépendent que des positions et vitesses du chariot et du treuil.
Le cas d'une trajectoire simple avec un cable de longueur constante $L_0$ sera traiter ensemble en début de TP et vous aurez à traiter ensuite les 2 cas suivants avec les paramètres individuels données plus haut.
- trajectoire ascendente directe avec levage du cable de $L_0$ à $L_f$ (de A à B)
- trajectoire avec un obstacle nécessitant un levage du cable à $L_m$ (de A à B en passant par C) (optionnel)
On vous demandera de rédiger un CR succinct sur ces 2 cas dans le fichier `monCR.tex` sur la stratégie de contrôle mise en place pour minimiser les oscillations de la charge en fin de trajectoire.
### modélisation
- modèle mécanique = masse ponctuelle P (masse) et chariot (C)
pendule P de masse m de longueur $l(t)$ accroché à un chariot C de masse M se deplacant horizontalement $x_c(t)$
- système à 3 ddl $xc(t), \theta(t), l(t) $
- treuil de rayon $\rho$
- rayon $\rho$ (on néglige son inertie $J_\rho$)
- angle $\phi = (l-l_0)/\rho$
### Définition des repères et ddl
- définir les ddl avec `dynamicsymbols`
- définir les paramètres avec `symbols`
- définir les repères RO, RP `ReferencePoint` et les points O, P et C `Point`
'C='
$\displaystyle x_{c}\mathbf{\hat{r_o}_x}$
'P='
$\displaystyle - l\mathbf{\hat{r_p}_y} + x_{c}\mathbf{\hat{r_o}_x}$
### cinématique
- calcul vitesse des points P et C
- définition des masses ponctuelles Pc et Pa associées au chariot et à la masse m `Particle`
- calcul de l'energie potentielle
$\displaystyle \dot{x}_{c}\mathbf{\hat{r_o}_x}$
$\displaystyle - \dot{l}\mathbf{\hat{r_p}_y}$
$\displaystyle l \dot{\theta}\mathbf{\hat{r_p}_x} - \dot{l}\mathbf{\hat{r_p}_y} + \dot{x}_{c}\mathbf{\hat{r_o}_x}$
$\displaystyle \frac{m \left(l \cos{\left(\theta \right)} \dot{\theta} + \sin{\left(\theta \right)} \dot{l}\right) \dot{x}_{c}}{2} + \frac{m l^{2} \dot{\theta}^{2}}{2} + \frac{m l \cos{\left(\theta \right)} \dot{\theta} \dot{x}_{c}}{2} + \frac{m \sin{\left(\theta \right)} \dot{l} \dot{x}_{c}}{2} + \frac{m \dot{l}^{2}}{2} + \frac{m \dot{x}_{c}^{2}}{2}$
$\displaystyle - g m l \cos{\left(\theta \right)}$
### Lagrangien
- calcul du lagrangien du système chariot+masse dans La `Lagrangian`
$\displaystyle \frac{M \dot{x}_{c}^{2}}{2} + g m l \cos{\left(\theta \right)} + \frac{m l^{2} \dot{\theta}^{2}}{2} + m l \cos{\left(\theta \right)} \dot{\theta} \dot{x}_{c} + m \sin{\left(\theta \right)} \dot{l} \dot{x}_{c} + \frac{m \dot{l}^{2}}{2} + \frac{m \dot{x}_{c}^{2}}{2}$
### Bilan des forces
- force motrice $F$ sur le chariot en C
- force de tension $T$ dans le cable (ne travaille pas)
- couple sur un treuil de rayon $\rho$
- couple $C$
- travail $C_t \rho \delta l $
- $\alpha = \frac{M}{m}$ rapport des masses
- adimensionalisation:
- $ F = F_c M = F_c\alpha m $
- $ C = C_t m \rho $
- définition d'un repère Rt lié au treuil
- calcul angle $\phi_t$ en fct de $l(t)$ (enroulement autour du treuil)
- $l_0$ longueur de référence
### Equations de Lagrange
calcul des équations de Lagrange `LagrangesMethod` avec le travail des forces extérieures
- force de traction du chariot Fc
- couple sur le treuil Ct
$\displaystyle \frac{M \dot{x}_{c}^{2}}{2} + g m l \cos{\left(\theta \right)} + \frac{m l^{2} \dot{\theta}^{2}}{2} + m l \cos{\left(\theta \right)} \dot{\theta} \dot{x}_{c} + m \sin{\left(\theta \right)} \dot{l} \dot{x}_{c} + \frac{m \dot{l}^{2}}{2} + \frac{m \dot{x}_{c}^{2}}{2}$
$\displaystyle \left[\begin{matrix}m \left(g \sin{\left(\theta \right)} + l \ddot{\theta} + \cos{\left(\theta \right)} \ddot{x}_{c} + 2 \dot{l} \dot{\theta}\right) l\\- F_{c} M + M \ddot{x}_{c} - m l \sin{\left(\theta \right)} \dot{\theta}^{2} + m l \cos{\left(\theta \right)} \ddot{\theta} + m \sin{\left(\theta \right)} \ddot{l} + 2 m \cos{\left(\theta \right)} \dot{l} \dot{\theta} + m \ddot{x}_{c}\\m \left(C_{t} - g \cos{\left(\theta \right)} - l \dot{\theta}^{2} + \sin{\left(\theta \right)} \ddot{x}_{c} + \ddot{l}\right)\end{matrix}\right]$
## Chariot mobile, longueur fixe
- on applique une force motrice horizontale $F_c$ avec un cable de longueur $l_0$ fixe
- adim: $ F_c M = F_c \alpha m $
- $\alpha = \frac{M}{m}$
- **objectif:**
- déterminer la force $F_c$ pour avoir un ballant minimum
- tests de différents contrôle
- contrôle du chariot seule
- asservissement de la trajectoire du chariot
- couplage de haut niveau
- calcul du nouveau lagrangien
- calcul des equations de lagranges
- introduction de $\alpha = M/m$
$\displaystyle \frac{m \left(\alpha \dot{x}_{c}^{2} + 2 g l_{0} \cos{\left(\theta \right)} + l_{0}^{2} \dot{\theta}^{2} + 2 l_{0} \cos{\left(\theta \right)} \dot{\theta} \dot{x}_{c} + \dot{x}_{c}^{2}\right)}{2}$
$\displaystyle \left[\begin{matrix}l_{0} m \left(g \sin{\left(\theta \right)} + l_{0} \ddot{\theta} + \cos{\left(\theta \right)} \ddot{x}_{c}\right)\\m \left(- F_{c} \alpha + \alpha \ddot{x}_{c} - l_{0} \sin{\left(\theta \right)} \dot{\theta}^{2} + l_{0} \cos{\left(\theta \right)} \ddot{\theta} + \ddot{x}_{c}\right)\end{matrix}\right]$
### 1ere methode: contrôle simple du chariot
On contrôle uniquement le chariot $x_c(t)$ sans tenir compte de l'interaction avec la masse P: on suppose que $\theta \approx 0=cste$
L'équation du mouvement du chariot s'écrit alors
$$ (1+\alpha)\ddot{x_c} = \alpha F_c$$
- on impose une trajectoire simple au chariot tq.
$$ x_c(0)=0, \dot{x_c}(0)=0, x_c(t_f) = x_f, \dot{x_c}(t_f)=0$$
- d'où $x_c(t)$ polynôme de degré 3
$$ x_c(t) = x_f \frac{t^2}{t_f^2}(3-2\frac{t}{t_f})$$
- d'où la force $F_c$ sur le chariot
- definition analytique
- conversion fonction python avec `lambdify`
'xc='
$\displaystyle \frac{t^{2} x_{f} \left(- 2 t + 3 t_{f}\right)}{t_{f}^{3}}$
$\displaystyle \left( x_{f}, \ 0\right)$
'Fc='
$\displaystyle - \frac{2 x_{f} \left(\alpha + 1\right) \left(6 t - 3 t_{f}\right)}{\alpha t_{f}^{3}}$
### 2ieme méthode: asservissement simple
- on applique un asservissement simple pour avoir la trajectoire précédente
$$ x_i(t) = x_f \frac{t^2}{t_f^2}(3-2\frac{t}{t_f})$$
- asservissement
$$ F_a(t) = -K_c \left( (x(t)-x_i(t)) + T_c(\dot x - \dot x_i) \right) $$
$\displaystyle - K_{c} \left(T_{c} \left(\frac{2 t^{2} x_{f}}{t_{f}^{3}} - \frac{2 t x_{f} \left(- 2 t + 3 t_{f}\right)}{t_{f}^{3}} + \dot{x}_{c}\right) - \frac{t^{2} x_{f} \left(- 2 t + 3 t_{f}\right)}{t_{f}^{3}} + x_{c}\right)$
### 3ieme méthode: commande de haut niveau lente
- linéarisation des équations
- contrôle du positionnement de la charge P
- calcul de la commande en fonction du mvt de la charge
#### mouvement de la charge
- calcul des coordonnées de la charge P: $\xi(t)$, $\eta(t)$ dans le repère fixe
- relation entre $\theta$ $\xi$ et $\eta$
$\displaystyle (l \sin{\left(\theta \right)} + x_{c})\mathbf{\hat{r_o}_x} - l \cos{\left(\theta \right)}\mathbf{\hat{r_o}_y}$
$\displaystyle \xi = l \sin{\left(\theta \right)} + x_{c}$
$\displaystyle \eta = - l \cos{\left(\theta \right)}$
$\displaystyle \tan{\left(\theta \right)} = \frac{x_{c} - \xi}{\eta}$
#### paramétrisation / trajectoire
- équation d'équilibre de la charge en fonction de la tension T
- réécrire les équations du mvt pour obtenir $\theta$ et $x_c$ en fct de $\xi$ et $\eta$
$\displaystyle m \ddot{\xi} = - T \sin{\left(\theta \right)}$
$\displaystyle m \ddot{\eta} = T \cos{\left(\theta \right)} - g m$
$\displaystyle \tan{\left(\theta \right)} = - \frac{\ddot{\xi}}{g + \ddot{\eta}}$
$\displaystyle x_{c} = \xi - \frac{\eta \ddot{\xi}}{g + \ddot{\eta}}$
#### paramétrisation
si on connait $\xi(t)$ et $\eta(t)$ jusqu'à leurs dérivées d'ordre 4, peut donc déterminer le mouvement et calculer la force $F_c$ 'on doit calculer $\ddot{x_c}$ et $\ddot{\theta$}$
**idée** on va déterminer le mouvement de la masse M (i.e. $\xi(t)$ et $\eta(t)$) pour pouvoir en déduire la force $F_c$. Pour cela on va se placer dans le cas de petites oscillations (linéarisation)
#### linéarisation $\theta$ petit
- $\eta = - l_0$
- $\theta = -\frac{\ddot{\xi}}{g}$
- $x_c = \xi + \frac{l_0}{g} \ddot{\xi}$
- $\omega_0 ^2 = \frac{g}{l_0}$
calcul de la force $F_c$ dans ce cas en fct de $\xi(t)$ et $\omega_0$
$\displaystyle - F_{c} \alpha + \alpha \ddot{x}_{c} + l_{0} \ddot{\theta} + \ddot{x}_{c}$
$\displaystyle - F_{c} \alpha + \alpha \left(\ddot{\xi} + \frac{\ddddot{\xi}}{\omega_{0}^{2}}\right) + \ddot{\xi}$
'Fc='
$\displaystyle F_{c} = \frac{\alpha \left(\ddot{\xi} + \frac{\ddddot{\xi}}{\omega_{0}^{2}}\right) + \ddot{\xi}}{\alpha}$
#### choix de la trajectoire $\xi(t)$ la plus régulière t.q.
On veut que la masse M soit immobile au départ et à l'arrivée
- trajectoire $\xi(t)$ idéale tq.
$$\xi(0)=0, \frac{d\xi}{dt}(0)=0, \frac{d^2\xi}{dt^2}(0)=0, \frac{d^3\xi}{dt^3}(0)=0, \frac{d^4\xi}{dt^4}(0)=0$$
$$\xi(t_f)=x_f, \frac{d\xi}{dt}(t_f)=0, \frac{d^2\xi}{dt^2}(t_f)=0, \frac{d^3\xi}{dt^3}(t_f)=0, \frac{d^4\xi}{dt^4}(t_f)=0$$
- $\xi(t)$ polynome de degré 9 en t
$$\xi(t) = x_f(\frac{t}{t_f})^5 (126-420(\frac{t}{t_f})+540(\frac{t}{tf})^2-315(\frac{t}{t_f})^3+70(\frac{t}{tf})^4)$$
$\displaystyle \xi = \frac{t^{5} x_{f} \left(\frac{70 t^{4}}{t_{f}^{4}} - \frac{315 t^{3}}{t_{f}^{3}} + \frac{540 t^{2}}{t_{f}^{2}} - \frac{420 t}{t_{f}} + 126\right)}{t_{f}^{5}}$
dérivées en tf: 0 0 0 0
$\displaystyle F_{c} = \frac{2520 t x_{f} \left(2 \alpha \omega_{0}^{2} t^{6} - 7 \alpha \omega_{0}^{2} t^{5} t_{f} + 9 \alpha \omega_{0}^{2} t^{4} t_{f}^{2} - 5 \alpha \omega_{0}^{2} t^{3} t_{f}^{3} + \alpha \omega_{0}^{2} t^{2} t_{f}^{4} + 84 \alpha t^{4} - 210 \alpha t^{3} t_{f} + 180 \alpha t^{2} t_{f}^{2} - 60 \alpha t t_{f}^{3} + 6 \alpha t_{f}^{4} + 2 \omega_{0}^{2} t^{6} - 7 \omega_{0}^{2} t^{5} t_{f} + 9 \omega_{0}^{2} t^{4} t_{f}^{2} - 5 \omega_{0}^{2} t^{3} t_{f}^{3} + \omega_{0}^{2} t^{2} t_{f}^{4}\right)}{\alpha \omega_{0}^{2} t_{f}^{9}}$
$\displaystyle x_{c} = \frac{t^{3} x_{f} \left(70 \omega_{0}^{2} t^{6} - 315 \omega_{0}^{2} t^{5} t_{f} + 540 \omega_{0}^{2} t^{4} t_{f}^{2} - 420 \omega_{0}^{2} t^{3} t_{f}^{3} + 126 \omega_{0}^{2} t^{2} t_{f}^{4} + 5040 t^{4} - 17640 t^{3} t_{f} + 22680 t^{2} t_{f}^{2} - 12600 t t_{f}^{3} + 2520 t_{f}^{4}\right)}{\omega_{0}^{2} t_{f}^{9}}$
$\displaystyle \theta = \frac{2520 t^{3} x_{f} \left(- 2 t^{4} + 7 t^{3} t_{f} - 9 t^{2} t_{f}^{2} + 5 t t_{f}^{3} - t_{f}^{4}\right)}{l_{0} \omega_{0}^{2} t_{f}^{9}}$
### Parametres de la simulation
- définition des paramètres
- **attention** valeur des parametres KC et TC
$$\ddot{x_c} = -K_c\left((x_c - x_i) + T_c(\dot{x_c}- \dot{x_i})\right)$$
optimal si $\Delta=0$ i.e. $Tc^2 = 4/K_c$
### parametres trajectoire: Xf=7.0 L0=7.0 Lf=8.0 Lm=4.0 alpha=0.8
Simulation: 100.0 0.2 4.0 3.4746094143618937
### tracée de la solution idéale $\xi(t)$
### Simulation avec les 3 contrôles
- commande simple Fs
- asservissement simple Fa
- commande lente couplée F
définition du second membre des equations de lagrange sous forme EDO du 1er ordre
$$ \dot{Y} = F(Y,t)$$
'Equations Lagrange:'
$\displaystyle \left[\begin{matrix}- \frac{m \left(- 2 g l_{0} \sin{\left(\theta \right)} - 2 l_{0} \sin{\left(\theta \right)} \dot{\theta} \dot{x}_{c}\right)}{2} + \frac{m \left(2 l_{0}^{2} \ddot{\theta} - 2 l_{0} \sin{\left(\theta \right)} \dot{\theta} \dot{x}_{c} + 2 l_{0} \cos{\left(\theta \right)} \ddot{x}_{c}\right)}{2}\\- F_{c} \alpha m + \frac{m \left(2 \alpha \ddot{x}_{c} - 2 l_{0} \sin{\left(\theta \right)} \dot{\theta}^{2} + 2 l_{0} \cos{\left(\theta \right)} \ddot{\theta} + 2 \ddot{x}_{c}\right)}{2}\end{matrix}\right]$
'F(Y)='
$\displaystyle \left[\begin{matrix}\dot{\theta}\\\dot{x}_{c}\\- \frac{F_{c} \alpha \cos{\left(\theta \right)} + \alpha g \sin{\left(\theta \right)} + g \sin{\left(\theta \right)} + \frac{l_{0} \sin{\left(2 \theta \right)} \dot{\theta}^{2}}{2}}{l_{0} \left(\alpha + \sin^{2}{\left(\theta \right)}\right)}\\\frac{F_{c} \alpha + \frac{g \sin{\left(2 \theta \right)}}{2} + l_{0} \sin{\left(\theta \right)} \dot{\theta}^{2}}{\alpha + \sin^{2}{\left(\theta \right)}}\end{matrix}\right]$
'F(Y)='
$\displaystyle \left[\begin{matrix}\dot{\theta}\\\dot{x}_{c}\\\frac{- F_{c} \alpha \cos{\left(\theta \right)} - \alpha l_{0} \omega_{0}^{2} \sin{\left(\theta \right)} - l_{0} \omega_{0}^{2} \sin{\left(\theta \right)} - \frac{l_{0} \sin{\left(2 \theta \right)} \dot{\theta}^{2}}{2}}{l_{0} \left(\alpha + \sin^{2}{\left(\theta \right)}\right)}\\\frac{F_{c} \alpha + \frac{l_{0} \omega_{0}^{2} \sin{\left(2 \theta \right)}}{2} + l_{0} \sin{\left(\theta \right)} \dot{\theta}^{2}}{\alpha + \sin^{2}{\left(\theta \right)}}\end{matrix}\right]$
3.0 1.8083141320025125 0.5 4.0 4.0
Erreur sur la position finale
commande 1 simple erreur xc=-0.5999 theta=17.455 deg
commande 2 asservie erreur xc=0.0632 theta=13.309 deg
commande 3 couplée erreur xc=0.0410 theta=-1.175 deg
### analyse solution commande simple
On vous demandera de rédiger un CR succinct sur ces 2 cas dans le fichier `monCR.tex` sur la stratégie de contrôle mise en place pour minimiser les oscillations de la charge en fin de trajectoire.
### modélisation
- modèle mécanique = masse ponctuelle P (masse) et chariot (C)
pendule P de masse m de longueur $l(t)$ accroché à un chariot C de masse M se deplacant horizontalement $x_c(t)$
- système à 3 ddl $xc(t), \theta(t), l(t) $
- treuil de rayon $\rho$
- rayon $\rho$ (on néglige son inertie $J_\rho$)
- angle $\phi = (l-l_0)/\rho$
### Définition des repères et ddl
- définir les ddl avec `dynamicsymbols`
- définir les paramètres avec `symbols`
- définir les repères RO, RP `ReferencePoint` et les points O, P et C `Point`
'C='
$\displaystyle x_{c}\mathbf{\hat{r_o}_x}$
'P='
$\displaystyle - l\mathbf{\hat{r_p}_y} + x_{c}\mathbf{\hat{r_o}_x}$
### cinématique
- calcul vitesse des points P et C
- définition des masses ponctuelles Pc et Pa associées au chariot et à la masse m `Particle`
- calcul de l'energie potentielle
$\displaystyle \dot{x}_{c}\mathbf{\hat{r_o}_x}$
$\displaystyle - \dot{l}\mathbf{\hat{r_p}_y}$
$\displaystyle l \dot{\theta}\mathbf{\hat{r_p}_x} - \dot{l}\mathbf{\hat{r_p}_y} + \dot{x}_{c}\mathbf{\hat{r_o}_x}$
$\displaystyle \frac{m \left(l \cos{\left(\theta \right)} \dot{\theta} + \sin{\left(\theta \right)} \dot{l}\right) \dot{x}_{c}}{2} + \frac{m l^{2} \dot{\theta}^{2}}{2} + \frac{m l \cos{\left(\theta \right)} \dot{\theta} \dot{x}_{c}}{2} + \frac{m \sin{\left(\theta \right)} \dot{l} \dot{x}_{c}}{2} + \frac{m \dot{l}^{2}}{2} + \frac{m \dot{x}_{c}^{2}}{2}$
$\displaystyle - g m l \cos{\left(\theta \right)}$
### Lagrangien
- calcul du lagrangien du système chariot+masse dans La `Lagrangian`
$\displaystyle \frac{M \dot{x}_{c}^{2}}{2} + g m l \cos{\left(\theta \right)} + \frac{m l^{2} \dot{\theta}^{2}}{2} + m l \cos{\left(\theta \right)} \dot{\theta} \dot{x}_{c} + m \sin{\left(\theta \right)} \dot{l} \dot{x}_{c} + \frac{m \dot{l}^{2}}{2} + \frac{m \dot{x}_{c}^{2}}{2}$
### Bilan des forces
- force motrice $F$ sur le chariot en C
- force de tension $T$ dans le cable (ne travaille pas)
- couple sur un treuil de rayon $\rho$
- couple $C$
- travail $C_t \rho \delta l $
- $\alpha = \frac{M}{m}$ rapport des masses
- adimensionalisation:
- $ F = F_c M = F_c\alpha m $
- $ C = C_t m \rho $
- définition d'un repère Rt lié au treuil
- calcul angle $\phi_t$ en fct de $l(t)$ (enroulement autour du treuil)
- $l_0$ longueur de référence
### Equations de Lagrange
calcul des équations de Lagrange `LagrangesMethod` avec le travail des forces extérieures
- force de traction du chariot Fc
- couple sur le treuil Ct
$\displaystyle \frac{M \dot{x}_{c}^{2}}{2} + g m l \cos{\left(\theta \right)} + \frac{m l^{2} \dot{\theta}^{2}}{2} + m l \cos{\left(\theta \right)} \dot{\theta} \dot{x}_{c} + m \sin{\left(\theta \right)} \dot{l} \dot{x}_{c} + \frac{m \dot{l}^{2}}{2} + \frac{m \dot{x}_{c}^{2}}{2}$
$\displaystyle \left[\begin{matrix}m \left(g \sin{\left(\theta \right)} + l \ddot{\theta} + \cos{\left(\theta \right)} \ddot{x}_{c} + 2 \dot{l} \dot{\theta}\right) l\\- F_{c} M + M \ddot{x}_{c} - m l \sin{\left(\theta \right)} \dot{\theta}^{2} + m l \cos{\left(\theta \right)} \ddot{\theta} + m \sin{\left(\theta \right)} \ddot{l} + 2 m \cos{\left(\theta \right)} \dot{l} \dot{\theta} + m \ddot{x}_{c}\\m \left(C_{t} - g \cos{\left(\theta \right)} - l \dot{\theta}^{2} + \sin{\left(\theta \right)} \ddot{x}_{c} + \ddot{l}\right)\end{matrix}\right]$
## Chariot mobile, longueur fixe
- on applique une force motrice horizontale $F_c$ avec un cable de longueur $l_0$ fixe
- adim: $ F_c M = F_c \alpha m $
- $\alpha = \frac{M}{m}$
- **objectif:**
- déterminer la force $F_c$ pour avoir un ballant minimum
- tests de différents contrôle
- contrôle du chariot seule
- asservissement de la trajectoire du chariot
- couplage de haut niveau
- calcul du nouveau lagrangien
- calcul des equations de lagranges
- introduction de $\alpha = M/m$
$\displaystyle \frac{m \left(\alpha \dot{x}_{c}^{2} + 2 g l_{0} \cos{\left(\theta \right)} + l_{0}^{2} \dot{\theta}^{2} + 2 l_{0} \cos{\left(\theta \right)} \dot{\theta} \dot{x}_{c} + \dot{x}_{c}^{2}\right)}{2}$
$\displaystyle \left[\begin{matrix}l_{0} m \left(g \sin{\left(\theta \right)} + l_{0} \ddot{\theta} + \cos{\left(\theta \right)} \ddot{x}_{c}\right)\\m \left(- F_{c} \alpha + \alpha \ddot{x}_{c} - l_{0} \sin{\left(\theta \right)} \dot{\theta}^{2} + l_{0} \cos{\left(\theta \right)} \ddot{\theta} + \ddot{x}_{c}\right)\end{matrix}\right]$
### 1ere methode: contrôle simple du chariot
On contrôle uniquement le chariot $x_c(t)$ sans tenir compte de l'interaction avec la masse P: on suppose que $\theta \approx 0=cste$
L'équation du mouvement du chariot s'écrit alors
$$ (1+\alpha)\ddot{x_c} = \alpha F_c$$
- on impose une trajectoire simple au chariot tq.
$$ x_c(0)=0, \dot{x_c}(0)=0, x_c(t_f) = x_f, \dot{x_c}(t_f)=0$$
- d'où $x_c(t)$ polynôme de degré 3
$$ x_c(t) = x_f \frac{t^2}{t_f^2}(3-2\frac{t}{t_f})$$
- d'où la force $F_c$ sur le chariot
- definition analytique
- conversion fonction python avec `lambdify`
'xc='
$\displaystyle \frac{t^{2} x_{f} \left(- 2 t + 3 t_{f}\right)}{t_{f}^{3}}$
$\displaystyle \left( x_{f}, \ 0\right)$
'Fc='
$\displaystyle - \frac{2 x_{f} \left(\alpha + 1\right) \left(6 t - 3 t_{f}\right)}{\alpha t_{f}^{3}}$
### 2ieme méthode: asservissement simple
- on applique un asservissement simple pour avoir la trajectoire précédente
$$ x_i(t) = x_f \frac{t^2}{t_f^2}(3-2\frac{t}{t_f})$$
- asservissement
$$ F_a(t) = -K_c \left( (x(t)-x_i(t)) + T_c(\dot x - \dot x_i) \right) $$
$\displaystyle - K_{c} \left(T_{c} \left(\frac{2 t^{2} x_{f}}{t_{f}^{3}} - \frac{2 t x_{f} \left(- 2 t + 3 t_{f}\right)}{t_{f}^{3}} + \dot{x}_{c}\right) - \frac{t^{2} x_{f} \left(- 2 t + 3 t_{f}\right)}{t_{f}^{3}} + x_{c}\right)$
### 3ieme méthode: commande de haut niveau lente
- linéarisation des équations
- contrôle du positionnement de la charge P
- calcul de la commande en fonction du mvt de la charge
#### mouvement de la charge
- calcul des coordonnées de la charge P: $\xi(t)$, $\eta(t)$ dans le repère fixe
- relation entre $\theta$ $\xi$ et $\eta$
$\displaystyle (l \sin{\left(\theta \right)} + x_{c})\mathbf{\hat{r_o}_x} - l \cos{\left(\theta \right)}\mathbf{\hat{r_o}_y}$
$\displaystyle \xi = l \sin{\left(\theta \right)} + x_{c}$
$\displaystyle \eta = - l \cos{\left(\theta \right)}$
$\displaystyle \tan{\left(\theta \right)} = \frac{x_{c} - \xi}{\eta}$
#### paramétrisation / trajectoire
- équation d'équilibre de la charge en fonction de la tension T
- réécrire les équations du mvt pour obtenir $\theta$ et $x_c$ en fct de $\xi$ et $\eta$
$\displaystyle m \ddot{\xi} = - T \sin{\left(\theta \right)}$
$\displaystyle m \ddot{\eta} = T \cos{\left(\theta \right)} - g m$
$\displaystyle \tan{\left(\theta \right)} = - \frac{\ddot{\xi}}{g + \ddot{\eta}}$
$\displaystyle x_{c} = \xi - \frac{\eta \ddot{\xi}}{g + \ddot{\eta}}$
#### paramétrisation
si on connait $\xi(t)$ et $\eta(t)$ jusqu'à leurs dérivées d'ordre 4, peut donc déterminer le mouvement et calculer la force $F_c$ 'on doit calculer $\ddot{x_c}$ et $\ddot{\theta$}$
**idée** on va déterminer le mouvement de la masse M (i.e. $\xi(t)$ et $\eta(t)$) pour pouvoir en déduire la force $F_c$. Pour cela on va se placer dans le cas de petites oscillations (linéarisation)
#### linéarisation $\theta$ petit
- $\eta = - l_0$
- $\theta = -\frac{\ddot{\xi}}{g}$
- $x_c = \xi + \frac{l_0}{g} \ddot{\xi}$
- $\omega_0 ^2 = \frac{g}{l_0}$
calcul de la force $F_c$ dans ce cas en fct de $\xi(t)$ et $\omega_0$
$\displaystyle - F_{c} \alpha + \alpha \ddot{x}_{c} + l_{0} \ddot{\theta} + \ddot{x}_{c}$
$\displaystyle - F_{c} \alpha + \alpha \left(\ddot{\xi} + \frac{\ddddot{\xi}}{\omega_{0}^{2}}\right) + \ddot{\xi}$
'Fc='
$\displaystyle F_{c} = \frac{\alpha \left(\ddot{\xi} + \frac{\ddddot{\xi}}{\omega_{0}^{2}}\right) + \ddot{\xi}}{\alpha}$
#### choix de la trajectoire $\xi(t)$ la plus régulière t.q.
On veut que la masse M soit immobile au départ et à l'arrivée
- trajectoire $\xi(t)$ idéale tq.
$$\xi(0)=0, \frac{d\xi}{dt}(0)=0, \frac{d^2\xi}{dt^2}(0)=0, \frac{d^3\xi}{dt^3}(0)=0, \frac{d^4\xi}{dt^4}(0)=0$$
$$\xi(t_f)=x_f, \frac{d\xi}{dt}(t_f)=0, \frac{d^2\xi}{dt^2}(t_f)=0, \frac{d^3\xi}{dt^3}(t_f)=0, \frac{d^4\xi}{dt^4}(t_f)=0$$
- $\xi(t)$ polynome de degré 9 en t
$$\xi(t) = x_f(\frac{t}{t_f})^5 (126-420(\frac{t}{t_f})+540(\frac{t}{tf})^2-315(\frac{t}{t_f})^3+70(\frac{t}{tf})^4)$$
$\displaystyle \xi = \frac{t^{5} x_{f} \left(\frac{70 t^{4}}{t_{f}^{4}} - \frac{315 t^{3}}{t_{f}^{3}} + \frac{540 t^{2}}{t_{f}^{2}} - \frac{420 t}{t_{f}} + 126\right)}{t_{f}^{5}}$
dérivées en tf: 0 0 0 0
$\displaystyle F_{c} = \frac{2520 t x_{f} \left(2 \alpha \omega_{0}^{2} t^{6} - 7 \alpha \omega_{0}^{2} t^{5} t_{f} + 9 \alpha \omega_{0}^{2} t^{4} t_{f}^{2} - 5 \alpha \omega_{0}^{2} t^{3} t_{f}^{3} + \alpha \omega_{0}^{2} t^{2} t_{f}^{4} + 84 \alpha t^{4} - 210 \alpha t^{3} t_{f} + 180 \alpha t^{2} t_{f}^{2} - 60 \alpha t t_{f}^{3} + 6 \alpha t_{f}^{4} + 2 \omega_{0}^{2} t^{6} - 7 \omega_{0}^{2} t^{5} t_{f} + 9 \omega_{0}^{2} t^{4} t_{f}^{2} - 5 \omega_{0}^{2} t^{3} t_{f}^{3} + \omega_{0}^{2} t^{2} t_{f}^{4}\right)}{\alpha \omega_{0}^{2} t_{f}^{9}}$
$\displaystyle x_{c} = \frac{t^{3} x_{f} \left(70 \omega_{0}^{2} t^{6} - 315 \omega_{0}^{2} t^{5} t_{f} + 540 \omega_{0}^{2} t^{4} t_{f}^{2} - 420 \omega_{0}^{2} t^{3} t_{f}^{3} + 126 \omega_{0}^{2} t^{2} t_{f}^{4} + 5040 t^{4} - 17640 t^{3} t_{f} + 22680 t^{2} t_{f}^{2} - 12600 t t_{f}^{3} + 2520 t_{f}^{4}\right)}{\omega_{0}^{2} t_{f}^{9}}$
$\displaystyle \theta = \frac{2520 t^{3} x_{f} \left(- 2 t^{4} + 7 t^{3} t_{f} - 9 t^{2} t_{f}^{2} + 5 t t_{f}^{3} - t_{f}^{4}\right)}{l_{0} \omega_{0}^{2} t_{f}^{9}}$
### Parametres de la simulation
- définition des paramètres
- **attention** valeur des parametres KC et TC
$$\ddot{x_c} = -K_c\left((x_c - x_i) + T_c(\dot{x_c}- \dot{x_i})\right)$$
optimal si $\Delta=0$ i.e. $Tc^2 = 4/K_c$
### parametres trajectoire: Xf=7.0 L0=7.0 Lf=8.0 Lm=4.0 alpha=0.8
Simulation: 100.0 0.2 4.0 3.4746094143618937
### tracée de la solution idéale $\xi(t)$
### Simulation avec les 3 contrôles
- commande simple Fs
- asservissement simple Fa
- commande lente couplée F
définition du second membre des equations de lagrange sous forme EDO du 1er ordre
$$ \dot{Y} = F(Y,t)$$
'Equations Lagrange:'
$\displaystyle \left[\begin{matrix}- \frac{m \left(- 2 g l_{0} \sin{\left(\theta \right)} - 2 l_{0} \sin{\left(\theta \right)} \dot{\theta} \dot{x}_{c}\right)}{2} + \frac{m \left(2 l_{0}^{2} \ddot{\theta} - 2 l_{0} \sin{\left(\theta \right)} \dot{\theta} \dot{x}_{c} + 2 l_{0} \cos{\left(\theta \right)} \ddot{x}_{c}\right)}{2}\\- F_{c} \alpha m + \frac{m \left(2 \alpha \ddot{x}_{c} - 2 l_{0} \sin{\left(\theta \right)} \dot{\theta}^{2} + 2 l_{0} \cos{\left(\theta \right)} \ddot{\theta} + 2 \ddot{x}_{c}\right)}{2}\end{matrix}\right]$
'F(Y)='
$\displaystyle \left[\begin{matrix}\dot{\theta}\\\dot{x}_{c}\\- \frac{F_{c} \alpha \cos{\left(\theta \right)} + \alpha g \sin{\left(\theta \right)} + g \sin{\left(\theta \right)} + \frac{l_{0} \sin{\left(2 \theta \right)} \dot{\theta}^{2}}{2}}{l_{0} \left(\alpha + \sin^{2}{\left(\theta \right)}\right)}\\\frac{F_{c} \alpha + \frac{g \sin{\left(2 \theta \right)}}{2} + l_{0} \sin{\left(\theta \right)} \dot{\theta}^{2}}{\alpha + \sin^{2}{\left(\theta \right)}}\end{matrix}\right]$
'F(Y)='
$\displaystyle \left[\begin{matrix}\dot{\theta}\\\dot{x}_{c}\\\frac{- F_{c} \alpha \cos{\left(\theta \right)} - \alpha l_{0} \omega_{0}^{2} \sin{\left(\theta \right)} - l_{0} \omega_{0}^{2} \sin{\left(\theta \right)} - \frac{l_{0} \sin{\left(2 \theta \right)} \dot{\theta}^{2}}{2}}{l_{0} \left(\alpha + \sin^{2}{\left(\theta \right)}\right)}\\\frac{F_{c} \alpha + \frac{l_{0} \omega_{0}^{2} \sin{\left(2 \theta \right)}}{2} + l_{0} \sin{\left(\theta \right)} \dot{\theta}^{2}}{\alpha + \sin^{2}{\left(\theta \right)}}\end{matrix}\right]$
3.0 1.8083141320025125 0.5 4.0 4.0
Erreur sur la position finale
commande 1 simple erreur xc=-0.5999 theta=17.455 deg
commande 2 asservie erreur xc=0.0632 theta=13.309 deg
commande 3 couplée erreur xc=0.0410 theta=-1.175 deg
### analyse solution commande simple
