# TP OUTPUT DAE : pendule sur une courbe
**Marc BUFFAT** dpt mécanique, Université Lyon 1
**vous devez écrire les fonctions dont le nom est fixé, mais dont vous devez
spécifier les arguments en fonction de la question posée.**
Chaque fonction validée rapporte **des points**
**Attention:** executer toutes les cellules depuis le début en utilisant le bouton **run**
**ERREUR:** numéro d'étudiant non spécifié!!!
**Login étudiant Marc BUFFAT uid=137764122**
**Parametres:** m=2.7 M=6.55 l=2.81 a0=0.5
## Pendule sur une courbe
### modélisation
Les coordonnées du système sont $Q=[x(t),y(t),\theta(t)]$, (coordonnées de m et angle de rotation du pendule). Le lagrangien du système est $L(Q,\dot{Q},t)$
, et les équations de Lagrange sous contrainte s'écrivent
$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial\dot{Q}_{i}})-\frac{\partial L}{\partial Q_{i}}=H_{i}+\lambda G_{i}$$
où le vecteur $\vec{H}$ représente la contribution du travail $\vec{H}.\delta\vec{Q}$ de la force de frottement $\vec{F}$, $\lambda$ le multiplicateur de Lagrange (i.e. la force de liaison) associé à la contrainte $f(x,y)=0$, et $\vec{G}$ la contribution due travail de cette force de liaison $\lambda\vec{G}.\delta\vec{Q}$.
$$ G_i = \frac{\partial f}{\partial Q_i}$$
La courbe $f(x,y)=0$ est le chameau $y=x^{2}+a_0\cos(\omega x)$
A l'instant initial le pendule se trouve la courbe en $x_0, y_0=f(x_0)$ et on le lâche sans vitesse initiale avec un angle $\theta=0$. On cherche à déterminer la position d'équilibre du système en fonction de $x_{0}$.
### Définition des repères et des points
- un référenciel R0 et un point O de référence:
- système de deux points:
- Q(xp,yp) de masse M glissant sur la courbe auquel est accroché l'autre point P
- P distant de l de Q
'VP='
$\displaystyle \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\mathbf{\hat{r_0}_x} + \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}\mathbf{\hat{r_0}_y}$
'VQ='
$\displaystyle (l \cos{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} \frac{d}{d t} \theta{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} x{\left(t \right)})\mathbf{\hat{r_0}_x} + (l \sin{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} \frac{d}{d t} \theta{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} y{\left(t \right)})\mathbf{\hat{r_0}_y}$
$\displaystyle g m y{\left(t \right)}$
$\displaystyle \frac{m \left(\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\right)^{2}}{2} + \frac{m \left(\frac{d}{d t} y{\left(t \right)}\right)^{2}}{2}$
$\displaystyle M g \left(- l \cos{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} + y{\left(t \right)}\right)$
$\displaystyle \frac{M \left(l \sin{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} \frac{d}{d t} \theta{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}\right)^{2}}{2} + \frac{M \left(l \cos{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} \frac{d}{d t} \theta{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\right)^{2}}{2}$
### Calcul du lagrangien
'L='
$\displaystyle - M g \left(- l \cos{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} + y{\left(t \right)}\right) + \frac{M \left(l \sin{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} \frac{d}{d t} \theta{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}\right)^{2}}{2} + \frac{M \left(l \cos{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} \frac{d}{d t} \theta{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\right)^{2}}{2} - g m y{\left(t \right)} + \frac{m \left(\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\right)^{2}}{2} + \frac{m \left(\frac{d}{d t} y{\left(t \right)}\right)^{2}}{2}$
'contrainte='
$\displaystyle - a_{0} \cos{\left(\omega x{\left(t \right)} \right)} - x^{2}{\left(t \right)} + y{\left(t \right)}$
'Force de frottement='
[(P, - K*Derivative(x(t), t)*R_0.x - K*Derivative(y(t), t)*R_0.y)]
## Bilan des équation
- Énergie cinétique
$$T=\frac{1}{2}m(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2})+\frac{1}{2}M\left((\dot{x}+l\dot{\theta}\cos\theta)^{2}+(\dot{y}+l\dot{\theta}\sin\theta)^{2}\right)$$
- Énergie potentielle
$$U=mgy+Mg(y-lcos\theta)$$
- Lagrangien
$$L=T-U$$
- Force de frottement généralisée
$$H=\left[\begin{array}{c}
-K\dot{x}\\
-K\dot{y}\\
0
\end{array}\right]$$
- contrainte
$$ f(x,y) = y-(x^{2}+a_0\cos\omega x)$$
- gradient de la contrainte
$$ G = \left[\begin{array}{c}
\frac{\partial f}{\partial x}\\
\frac{\partial f}{\partial y}\\
0
\end{array}\right]$$
Ecrire les équations du mouvement, et les transformer en un système d'ordre 1 de la forme:
$$ M \dot{Y} = F(Y,t) $$
avec
$$Y=[x,y,\theta,\dot{x},\dot{y},\dot{\theta},\lambda]$$
on dérivera la contrainte autant de fois que nécessaire pour pouvoir résoudre.
$\displaystyle \left[\begin{matrix}K \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + \frac{M \left(- 2 l \sin{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} \left(\frac{d}{d t} \theta{\left(t \right)}\right)^{2} + 2 l \cos{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} \frac{d^{2}}{d t^{2}} \theta{\left(t \right)} + 2 \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)}\right)}{2} + m \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} - \left(- a_{0} \omega \sin{\left(\omega x{\left(t \right)} \right)} + 2 x{\left(t \right)}\right) \operatorname{lam}_{1}{\left(t \right)}\\K \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} + M g + \frac{M \left(2 l \sin{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} \frac{d^{2}}{d t^{2}} \theta{\left(t \right)} + 2 l \cos{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} \left(\frac{d}{d t} \theta{\left(t \right)}\right)^{2} + 2 \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}\right)}{2} + g m + m \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} + \operatorname{lam}_{1}{\left(t \right)}\\M g l \sin{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} + M l \left(- l \sin{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} \left(\frac{d}{d t} \theta{\left(t \right)}\right)^{2} + l \cos{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} \frac{d^{2}}{d t^{2}} \theta{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)}\right) \cos{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} + M l \left(l \sin{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} \frac{d^{2}}{d t^{2}} \theta{\left(t \right)} + l \cos{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} \left(\frac{d}{d t} \theta{\left(t \right)}\right)^{2} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}\right) \sin{\left(\theta{\left(t \right)} \right)}\end{matrix}\right]$
### Mise sous forme matricielle
$$ A X = B(Y) \mbox{ avec } Y=[x,y,\theta,\dot{x},\dot{y},\dot{\theta}] \mbox{ et } X=[\dot{Y},\lambda]$$
$\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & M + m & 0 & M l \cos{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} & - a_{0} \omega \sin{\left(\omega x{\left(t \right)} \right)} + 2 x{\left(t \right)}\\0 & 0 & 0 & 0 & M + m & M l \sin{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} & -1\\0 & 0 & 0 & M l \cos{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} & M l \sin{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} & M l^{2} \sin^{2}{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} + M l^{2} \cos^{2}{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} & 0\\0 & 0 & 0 & a_{0} \omega \sin{\left(\omega x{\left(t \right)} \right)} - 2 x{\left(t \right)} & 1 & 0 & 0\end{matrix}\right]$
$\displaystyle \left[\begin{matrix}\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\\\frac{d}{d t} y{\left(t \right)}\\\frac{d}{d t} \theta{\left(t \right)}\\- K \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + M l \sin{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} \left(\frac{d}{d t} \theta{\left(t \right)}\right)^{2}\\- K \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} - M g - M l \cos{\left(\theta{\left(t \right)} \right)} \left(\frac{d}{d t} \theta{\left(t \right)}\right)^{2} - g m\\- M g l \sin{\left(\theta{\left(t \right)} \right)}\\- a_{0} \omega^{2} \cos{\left(\omega x{\left(t \right)} \right)} \left(\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\right)^{2} + 2 \left(\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\right)^{2}\end{matrix}\right]$
### linéarisation
pour des cooordonnées $q$ et des vitesses généralisées $u$, dont $q_i$ et $u_i$ sont indépendantes et $r$ un forcage externe
\begin{split}M \begin{bmatrix} \delta \dot{q} \\ \delta \dot{u} \\ \delta \lambda \end{bmatrix} =
A \begin{bmatrix} \delta q_i \\ \delta u_i \end{bmatrix} + B \begin{bmatrix} \delta r \end{bmatrix}\end{split}
0 a0
$\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & M + m & 0 & M l & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & M + m & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & M l & 0 & M l^{2} & 0\end{matrix}\right]$
$\displaystyle \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\\\left(- M g - g m\right) \left(- a_{0} \omega^{2} + 2\right) & 0 & - K & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & - M g l & 0 & 0\end{matrix}\right]$
$\displaystyle \left[\begin{matrix}\end{matrix}\right]$
$\displaystyle \left[\begin{matrix}0\\\frac{d}{d t} y{\left(t \right)}\\0\\\frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}\\K \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + M l \frac{d^{2}}{d t^{2}} \theta{\left(t \right)} + \left(M + m\right) \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} - \left(- M g - g m\right) \left(- a_{0} \omega^{2} + 2\right) x{\left(t \right)}\\\lambda_{1} + \left(M + m\right) \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}\\M g l \theta{\left(t \right)} + M l^{2} \frac{d^{2}}{d t^{2}} \theta{\left(t \right)} + M l \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)}\end{matrix}\right]$
$\displaystyle \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\\frac{\frac{M^{2} l^{2} \left(- M g - g m\right) \left(- a_{0} \omega^{2} + 2\right)}{\left(M + m\right) \left(- \frac{M^{2} l^{2}}{M + m} + M l^{2}\right)} + \left(- M g - g m\right) \left(- a_{0} \omega^{2} + 2\right)}{M + m} & \frac{M^{2} g l^{2}}{\left(M + m\right) \left(- \frac{M^{2} l^{2}}{M + m} + M l^{2}\right)} & \frac{- \frac{K M^{2} l^{2}}{\left(M + m\right) \left(- \frac{M^{2} l^{2}}{M + m} + M l^{2}\right)} - K}{M + m} & 0\\- \frac{M l \left(- M g - g m\right) \left(- a_{0} \omega^{2} + 2\right)}{\left(M + m\right) \left(- \frac{M^{2} l^{2}}{M + m} + M l^{2}\right)} & - \frac{M g l}{- \frac{M^{2} l^{2}}{M + m} + M l^{2}} & \frac{K M l}{\left(M + m\right) \left(- \frac{M^{2} l^{2}}{M + m} + M l^{2}\right)} & 0\end{matrix}\right]$
$\displaystyle \left[\begin{matrix}\end{matrix}\right]$
$\displaystyle \left[\begin{matrix}0\\0\\- \frac{M^{2} g l^{2} \theta{\left(t \right)}}{\left(M + m\right) \left(- \frac{M^{2} l^{2}}{M + m} + M l^{2}\right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} - \frac{\left(- \frac{K M^{2} l^{2}}{\left(M + m\right) \left(- \frac{M^{2} l^{2}}{M + m} + M l^{2}\right)} - K\right) \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{M + m} - \frac{\left(\frac{M^{2} l^{2} \left(- M g - g m\right) \left(- a_{0} \omega^{2} + 2\right)}{\left(M + m\right) \left(- \frac{M^{2} l^{2}}{M + m} + M l^{2}\right)} + \left(- M g - g m\right) \left(- a_{0} \omega^{2} + 2\right)\right) x{\left(t \right)}}{M + m}\\- \frac{K M l \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{\left(M + m\right) \left(- \frac{M^{2} l^{2}}{M + m} + M l^{2}\right)} + \frac{M g l \theta{\left(t \right)}}{- \frac{M^{2} l^{2}}{M + m} + M l^{2}} + \frac{M l \left(- M g - g m\right) \left(- a_{0} \omega^{2} + 2\right) x{\left(t \right)}}{\left(M + m\right) \left(- \frac{M^{2} l^{2}}{M + m} + M l^{2}\right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} \theta{\left(t \right)}\end{matrix}\right]$
array([[ 0. , 0. , 1. , 0. ],
[ 0. , 0. , 0. , 1. ],
[118.02314815, 24.25925926, -0.74074074, 0. ],
[-42.00112034, -12.19190721, 0.2636088 , 0. ]])
(array([-1.08479916e+01+0.j , 1.01090216e+01+0.j ,
-8.85400092e-04+1.95704657j, -8.85400092e-04-1.95704657j]),
array([[ 8.67633393e-02+0.j , 9.30902155e-02+0.j ,
-1.01408097e-03+0.08883113j, -1.01408097e-03-0.08883113j],
[-2.99703036e-02+0.j , -3.20133654e-02+0.j ,
-2.01894326e-04-0.44625769j, -2.01894326e-04+0.44625769j],
[-9.41207973e-01+0.j , 9.41051003e-01+0.j ,
-1.73845769e-01-0.00206325j, -1.73845769e-01+0.00206325j],
[ 3.25117601e-01+0.j , -3.23623804e-01+0.j ,
8.73347255e-01+0.j , 8.73347255e-01-0.j ]]))
### changement de variables Y
$\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & M + m & 0 & M l \cos{\left(Y_{2, 0} \right)} & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & M + m & M l \sin{\left(Y_{2, 0} \right)} & 0\\0 & 0 & 0 & M l \cos{\left(Y_{2, 0} \right)} & M l \sin{\left(Y_{2, 0} \right)} & M l^{2} \sin^{2}{\left(Y_{2, 0} \right)} + M l^{2} \cos^{2}{\left(Y_{2, 0} \right)} & 0\\0 & 0 & 0 & a_{0} \omega \sin{\left(\omega Y_{0, 0} \right)} - 2 Y_{0, 0} & 1 & 0 & 0\end{matrix}\right]$
$\displaystyle \left[\begin{matrix}Y_{3, 0}\\Y_{4, 0}\\Y_{5, 0}\\- K Y_{3, 0} + M l \sin{\left(Y_{2, 0} \right)} Y_{5, 0}^{2} - \left(- a_{0} \omega \sin{\left(\omega Y_{0, 0} \right)} + 2 Y_{0, 0}\right) Y_{6, 0}\\- K Y_{4, 0} - M g - M l \cos{\left(Y_{2, 0} \right)} Y_{5, 0}^{2} - g m + Y_{6, 0}\\- M g l \sin{\left(Y_{2, 0} \right)}\\- a_{0} \omega^{2} \cos{\left(\omega Y_{0, 0} \right)} Y_{3, 0}^{2} - \beta \left(- a_{0} \cos{\left(\omega Y_{0, 0} \right)} - Y_{0, 0}^{2} + Y_{1, 0}\right) + 2 Y_{3, 0}^{2}\end{matrix}\right]$
## Programmation
### parametres
- les valeurs de m,l,M et a0 sont fixés au début.
- on choisira la valeur des parametres de penalisation $\beta_1$ $\beta_2$
- on prendra $K=2.0$ , $\omega=3.3$, $g=10.0$
- le seul paramêtre variable est donc la position initiale $x_0$
Définir la valeurs de ces parametres et ecrire une fonction résidu qui calcul le résidu du système:
$$ res = M.\dot{Y} - F(Y,t) $$
### Vérification
vérifier que pour les 2 positions d'équilibres le résidu est bien nul.
On tracera aussi la courbe f(x) et la position des 2 points d'équilibre stables.
racine 0.666798402972126 err=5.773159728050814e-15
pour xe=0.666798402972126 res=[0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 5.34017275e-13
0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00]
pour xe=-0.666798402972126 res=[ 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 -5.34017275e-13
0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00]
[]
## Résolution
ecrire une fonction **solution** qui calcule la solution en fonction d'une position initiale x0
### Vérification
en choissisant une valeur de x0 proche de la position d'équilibre, vérifier que le mouvement du pendule est celui attendu.
CI Y0= [0.7667984 0.17848772 0. 0. 0. 0.
0. ]
dY0= [ 0. 0. 0. 0. -10. 0. 0.]
res= [ 0. 0. 0. 0. 0. 0. -10.]
Successful function return.
Nbre d'appel a rhs: 8156
## Analyse pour x0 grand
pour une valeur de x0 assez grande vérifier que le pendule peut passer d'une position déquilibre à l'autre.
CI Y0= [2. 4.4751163 0. 0. 0. 0. 0. ]
dY0= [ 0. 0. 0. 0. -10. 0. 0.]
res= [ 0. 0. 0. 0. 0. 0. -10.]
Successful function return.
Nbre d'appel a rhs: 48738
## Etude en fonction de x0
en faisant varier x0 de 0 2.0, déterminer la position finale en fonction de x0
CI Y0= [0.01 0.49982777 0. 0. 0. 0.
0. ]
dY0= [ 0. 0. 0. 0. -10. 0. 0.]
res= [ 0. 0. 0. 0. 0. 0. -10.]
Successful function return.
Nbre d'appel a rhs: 19210
CI Y0= [0.1095 0.47970045 0. 0. 0. 0.
0. ]
dY0= [ 0. 0. 0. 0. -10. 0. 0.]
res= [ 0. 0. 0. 0. 0. 0. -10.]
Successful function return.
Nbre d'appel a rhs: 18640
CI Y0= [0.209 0.42939947 0. 0. 0. 0.
0. ]
dY0= [ 0. 0. 0. 0. -10. 0. 0.]
res= [ 0. 0. 0. 0. 0. 0. -10.]
Successful function return.
Nbre d'appel a rhs: 18255
CI Y0= [0.3085 0.35768553 0. 0. 0. 0.
0. ]
dY0= [ 0. 0. 0. 0. -10. 0. 0.]
res= [ 0. 0. 0. 0. 0. 0. -10.]
Successful function return.
Nbre d'appel a rhs: 16019
CI Y0= [0.408 0.27772293 0. 0. 0. 0.
0. ]
dY0= [ 0. 0. 0. 0. -10. 0. 0.]
res= [ 0. 0. 0. 0. 0. 0. -10.]
Successful function return.
Nbre d'appel a rhs: 14544
CI Y0= [0.5075 0.20567298 0. 0. 0. 0.
0. ]
dY0= [ 0. 0. 0. 0. -10. 0. 0.]
res= [ 0. 0. 0. 0. 0. 0. -10.]
Successful function return.
Nbre d'appel a rhs: 10538
CI Y0= [0.607 0.15896717 0. 0. 0. 0.
0. ]
dY0= [ 0. 0. 0. 0. -10. 0. 0.]
res= [ 0. 0. 0. 0. 0. 0. -10.]
Successful function return.
Nbre d'appel a rhs: 5742
CI Y0= [0.7065 0.1544447 0. 0. 0. 0. 0. ]
dY0= [ 0. 0. 0. 0. -10. 0. 0.]
res= [ 0. 0. 0. 0. 0. 0. -10.]
Successful function return.
Nbre d'appel a rhs: 4511
CI Y0= [0.806 0.20655316 0. 0. 0. 0.
0. ]
dY0= [ 0. 0. 0. 0. -10. 0. 0.]
res= [ 0. 0. 0. 0. 0. 0. -10.]
Successful function return.
Nbre d'appel a rhs: 11086
CI Y0= [0.9055 0.32580487 0. 0. 0. 0.
0. ]
dY0= [ 0. 0. 0. 0. -10. 0. 0.]
res= [ 0. 0. 0. 0. 0. 0. -10.]
Successful function return.
Nbre d'appel a rhs: 16031
CI Y0= [1.005 0.51765367 0. 0. 0. 0.
0. ]
dY0= [ 0. 0. 0. 0. -10. 0. 0.]
res= [ 0. 0. 0. 0. 0. 0. -10.]
Successful function return.
Nbre d'appel a rhs: 18990
CI Y0= [1.1045 0.78191212 0. 0. 0. 0.
0. ]
dY0= [ 0. 0. 0. 0. -10. 0. 0.]
res= [ 0. 0. 0. 0. 0. 0. -10.]
Successful function return.
Nbre d'appel a rhs: 20432
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0. ]
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Successful function return.
Nbre d'appel a rhs: 25320
CI Y0= [1.3035 1.49942293 0. 0. 0. 0.
0. ]
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Nbre d'appel a rhs: 32708
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Nbre d'appel a rhs: 26079
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Nbre d'appel a rhs: 31995
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Nbre d'appel a rhs: 35436
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Nbre d'appel a rhs: 37012
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Nbre d'appel a rhs: 39771
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Nbre d'appel a rhs: 44507
CI Y0= [2. 4.4751163 0. 0. 0. 0. 0. ]
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Successful function return.
Nbre d'appel a rhs: 48738
Tracer la position finale en fonction de x0
Text(0.5, 1.0, 'position finale')
## Conclusion
écrire vos commentaires et conclusion
### BEGIN SOLUTION
### END SOLUTION