Exercices: lois de conservations

Laminage d’un acier¶

On considère le laminage d’un acier plat entre 2 rouleaux de laminage. L’acier qui sort des rouleaux est $10\%$ plus dense qu’avant. l’acier arrive avec une vitesse de $0.2m/s$, et sa largeur augmente de $9\%$ à la sortie.

1. Quelle est la vitesse de l’acier en sortie ?

Force exercée sur un coude¶

Soit l’écoulement d’un fluide dans un coude d’angle $\theta$ avec une section qui diminue de $S_1$ à $S_2$. On se propose de calculer la force $\vec{F}$ exercée par un l’écoulement sur le coude.

1. Exprimer $\vec{F}$ en fonction du tenseur de contraintes de l’écoulement.

2. Comment relier cette expression à l’écoulement ?

3. On va évaluer cette force par des modèles:

• Comment s’écrit le terme

  $$\int_{S_1\cup S_2} \rho \vec{v} (\vec{v}.\vec{n}) dS$$

  (1)

si on suppose que les champs de vitesse sont uniformes et parallèles à $\vec{n}$ sur $S_1$ et $S_2$ ?

• On suppose maintenant que dans $S_1$ et $S_2$,

est une force de pression avec $p_1$ la pression sur $S_1$ et $p_2$ sur $S_2$. Comment s’écrit la force $\vec{F}$ ?

Ecoulement à travers une hélice¶

On étudie une théorie simplifiée de l’écoulement à travers une hélice. Dans un repère lié à l’hélice, l’écoulement amont arrive avec une vitesse $V_1$ (en amont) et est accéléré par l’hélice (vitesse $V_4$ en aval).

L’hélice à un diamètre $D$ et donc une surface $S=\pi D^2/4$. En considérant un tube de courant entre la section d’entrée $S_1$ et la section de sortie sortie $S_4$, on cherche à calculer la puissance fournie par l’hélice.

1. Fournir la force exercée par l’hélice sur le fluide.

2. Écrire le bilan intégral de quantité de mouvement et relier cette force aux caractéristiques du fluide.

3. Simplifier l’expression à l’aide de la conservation de masse.

4. En rappelant les hypothèses, appliquer le théorème de Bernoulli.

5. Donner la puissance fournie par l’hélice en fonction de $\rho$,$D$,$V_1$ et $V_4$.

Jet impactant une paroi¶

Un jet d’eau en forme de lame horizontale de section $S$,de vitesse $v$ frappe une plaque de surface $\Sigma_L$

On suppose que les frottements dans le jet sont négligeables. L’écoulement est stationnaire. Le jet d’eau et la plaque se trouvent en contact avec l’atmosphère ` à pression constante $P_0$. La masse volumique de l’eau notée $\rho$ sera supposée constante. Enfin, on négligera les effets de gravité.

1. Exprimer sous forme intégrale et en termes de contraintes la résultante $\vec{R}$ des forces exercées par le jet et l’atmosphère sur la plaque.

2. Dans cette question on veut déterminer ces forces à l’aide du bilan intégral de quantité de mouvement.

   • Fournir le bilan intégral de quantité de mouvement.

   • En déduire $\vec{R}$ en fonction des caractéristiques du fluide.

3. calculer $\vec{R}$ en fonction de $\rho$, $v$, $S$, et $\vec{n} = -\vec{n}_S$

Élargissement brusque¶

On considère un élargissement brusque entre les sections $S_1$ et $S_2$

1. Connaissant la vitesse $v_1$ et les sections $S_1$ et $S_2$, calculer les variations de pression $P_2-P_1$ , entre les deux sections, sachant que la gravité est négligée.

2. Comment varie l’énergie par unité de volume $E$ le long des lignes de courant ? (Notion de perte de charge).

Ressaut hydraulique¶

On considère un ressaut hydraulique entre 2 section d’une rivière ($S_1$ amont < $S_2$ aval). On suppose que le problème est stationnaire, bidimensionnel et que l’écoulement est unidirectionnel en $S_1$ et $S_2$.

1. Calculer les vitesse $u_1$ et $u_2$ en fonction de $h_1$, $h_2$ et $g$.

2. Calculer la perte de charge en fonction de $h_1$, $h_2$ et $g$.