Approximation de couche limite - Cours de mécanique des fluides approfondie

écoulement autour d’une voiture DS citroen — Figure 1:écoulement autour d’une voiture DS citroen

A grand nombre de Reynolds, l’écoulement autour d’un obstacle peut se décomposer en plusieurs zones:

loin des parois de l’obstacle, les effets visqueux sont négligeables (écoulement fluide parfait)
proche des parois solides, dans une zone d’épaisseur $\delta$ (couche limite)
à l’arrière dans une zone de sillage (écoulement turbulent)

$Ma\ll1$ , $Re\gg1$ mais stationnaire et laminaire, $Fr\gg1$

écoulement de couche limite — Figure 2:écoulement de couche limite

Échelles de l’écoulement à une position $x$ du bord d’attaque: $x,\,\delta,\,U_{\infty},\,\rho,\,\mu$

nombres sans dimension $Re_{x}=\frac{\rho U_{\infty}x}{\mu}\gg1$ et $\epsilon=\frac{\delta}{x}\ll1$

$div\,\overrightarrow{U}=0$ donne l’ordre de grandeur de la vitesse $V$ suivant y: $V\approx\epsilon U_{\infty}$
A l’extérieure, l’écoulement est uniforme $\Longrightarrow$ $\frac{\partial p}{\partial x}=0$
dans la CL équilibre inertie = force visqueuse
$\rho u\frac{\partial u}{\partial x}\approx\mu\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}\,\Longrightarrow\epsilon=\frac{\delta}{x}\approx\frac{1}{\sqrt{Re_{x}}}$
(1)

théorie de Prandtl (1875-1953) fondateur de l’aérodynamique

hypothèse: $\epsilon=\delta/x=\theta(Re_{x}^{-1})\ll1$

analyse en ordre de grandeur $U_{0}\approx U_{\infty},\,V_{0}\approx\epsilon U_{\infty},\,x,\,\delta\approx\epsilon x,\,\epsilon^{2}\approx Re_{x}^{-1}$

\underbrace{\frac{\partial u}{\partial x}}_{U_{0}/x}+\underbrace{\frac{\partial v}{\partial y}}_{V_{0}/\delta\approx U_{0}/x}=0

\underbrace{u\frac{\partial u}{\partial x}}_{U_{0}^{2}/x}+\underbrace{v\frac{\partial u}{\partial y}}_{U_{0}^{2}/x}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+\underbrace{\nu\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}}_{\epsilon^{2}U_{0}^{2}/x}+\underbrace{\nu\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}}_{U_{0}^{2}/x}

\underbrace{u\frac{\partial v}{\partial x}}_{\epsilon U_{0}^{2}/x}+\underbrace{v\frac{\partial v}{\partial y}}_{\epsilon U_{0}^{2}/x}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}+\underbrace{\nu\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}}_{\epsilon^{3}U_{0}^{2}/x}+\underbrace{\nu\frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}}}_{\epsilon U_{0}^{2}/x}

\frac{\partial p}{\partial y}=0\,\Longrightarrow\,p=p(x)

gradient de pression externe $\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dx}=\pi(x)$ donné

\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0

u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=-\pi(x)+\nu\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}

système 2 inconnues $u(x,y)$ et $v(x,y)$ : avec $\psi(x,y)$ $\leadsto$ une équation

Solution auto-similaire de Blasius (étudiant de Prandtl) pour $\pi=0$

\psi(x,y)=U_{0}\sigma(x)\,f(\eta) \mbox{ avec }\eta=\frac{y}{\sigma(x)}\mbox{ et }\sigma(x)=\sqrt{\frac{2\nu x}{U_{0}}}

u(x,y)=\frac{\partial\psi}{\partial y},\,v(x,y)=-\frac{\partial\psi}{\partial x}\mbox{ avec }\psi(x,y)=U_{0}\sigma(x)\,f(\eta)

le profil auto-similaire $f(\eta)$ est solution de l’équation de Blasius:

f\,f''+2f'''=0\mbox{ avec }f(0)=0,f'(0)=0,f'(\infty)=1

développement de la couche limite (frottement $C_{f}(x)$ )

\delta\sim\sqrt{\frac{\mu x}{\rho U_{0}}},\,\,\,C_{f}=\frac{\tau_{w}}{\frac{1}{2}\rho U_{0}^{2}}=\frac{\mu\frac{\partial u}{\partial y}\mid_{w}}{\frac{1}{2}\rho U_{0}^{2}}\approx\frac{1}{\sqrt{Re_{x}}}

traînée sur une plaque plane de longueur $L$ , largueur $b$ avec

F_{D}=\int_{0}^{L}\tau_{w}bdx\approx\rho U_{0}^{2}bL\left(\frac{\rho U_{0}L}{\mu}\right)^{-\frac{1}{2}}

solution de Blasius F(\eta) — Figure 3:solution de Blasius $F(\eta)$

profil de vitesse U horizontale — Figure 4:profil de vitesse U horizontale

profil de vitesse V verticale — Figure 5:profil de vitesse V verticale